運動の表し方の問題

斜方投射では、初速度を水平成分と鉛直成分に分け、水平方向は等速直線運動、鉛直方向は加速度 $-g$（鉛直上向きを正とする）の等加速度直線運動として別々に扱います。空気抵抗を無視するので、小球にはたらく力は鉛直下向きの重力だけであり、水平方向には加速度がなく、鉛直方向の加速度は $-g$ になるからです。

1. 初速度の分解

初速度の鉛直成分は
$$v_0\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_0$$
です（水平成分は $v_0\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}{v}_0$ ですが、最高点の高さを求めるのには使いません）。

2. 最高点の条件

最高点では、小球の速度の鉛直成分が $0$ になります（水平成分は $\frac{1}{2}{v}_0$ のまま残っています）。

3. 鉛直方向に等加速度直線運動の式を使う

最高点の高さを $h$ とします。鉛直方向について $v^2-v_0{}^2=2ax$ の形の式に、初めの速度 $\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_0$、最高点での速度 $0$、加速度 $-g$、変位 $h$ を入れると
$$0^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_0\right)}^2=2\cdot (-g)\cdot h$$
$$-\frac{3}{4}{v}_0^2=-2gh$$
よって
$$h=\frac{3v_0^2}{8g}$$
となります。

（確かめ：鉛直投げ上げの最高点の高さ $\frac{V^2}{2g}$ に $V=\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_0$ を代入しても同じ結果になります。）

鉛直方向の初速度成分は $v_0\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_0$ である。最高点では鉛直方向の速度が 0 になるので、鉛直方向の等加速度運動の式 $v^2-v_y{0}^2=-2gh$ より、$0-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_0\right)}^2=-2gh$ となる。よって $h=\frac{3v_0^2}{8g}$。
検算：最高点に達する時間は $t=\frac{\sqrt{3}{v}_0}{2g}$ で、$h=\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{3v_0^2}{4g}-\frac{3v_0^2}{8g}=\frac{3v_0^2}{8g}$ となり一致する。