斜方投射

初速度を水平成分 $v_{0} cos θ$ と鉛直成分 $v_{0} sin θ$ に分け、最高点の高さ・最高点に達する時間・水平到達距離 $\frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}$ などを求められる

前提

水平投射（高校物理運動の表し方）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

斜め上向きに投げ上げた物体の運動（斜方投射）を、水平方向と鉛直方向の 2 つの直線運動に分けて調べる技能です。ボールを投げる、砲丸を飛ばす、斜めに打ち出された物体がどこまで飛ぶかを考える、といった場面で使います。最高点に達するまでの時間、最高点の高さ、同じ高さに戻るまでの時間と水平到達距離を求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

水平投射では、水平方向は等速直線運動、鉛直方向は自由落下と分けて考えました。重力は鉛直下向きにしかはたらかず、水平方向には力がはたらかないので、斜めに投げた場合も同じように分けられます。違うのは、初速度が斜めを向いていることだけです。水平から角 $θ$ 上向きに速さ $v_{0}$ で投げると、初速度は水平成分 $v_{0} cos θ$ と鉛直上向き成分 $v_{0} sin θ$ に分解できます。そこで、水平方向は速さ $v_{0} cos θ$ の等速直線運動、鉛直方向は初速度 $v_{0} sin θ$ の鉛直投げ上げ（加速度は下向きに $g$ ）として扱います。

鉛直上向きを正とし、投げた点を原点、投げた瞬間を $t = 0$ とすると、 $v_{x} = v_{0} cos θ$ 、 $x = v_{0} cos θ \cdot t$ 、 $v_{y} = v_{0} sin θ - g t$ 、 $y = v_{0} sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$ です。最高点では鉛直成分が $v_{y} = 0$ になるので、 $t_{1} = \frac{v _{0} sin θ}{g}$ です。高さは $v_{y}^{2} - (v_{0} sin θ)^{2} = - 2 g y$ に $v_{y} = 0$ を入れて $H = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} θ}{2 g}$ となります。投げた点と同じ高さ（ $y = 0$ ）に戻る時刻は、 $t (v_{0} sin θ - \frac{1}{2} g t) = 0$ の $t \neq = 0$ の解で、 $t_{2} = \frac{2 v _{0} sin θ}{g} = 2 t_{1}$ です。上りと下りが対称なので、ちょうど最高点までの時間の 2 倍になります。

この間に水平方向には一定の速さで進むので、水平到達距離は $L = v_{0} cos θ \cdot \frac{2 v _{0} sin θ}{g} = \frac{v _{0}^{2} \cdot 2 sin θ cos θ}{g}$ です。2 倍角の公式 $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ を使うと $L = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}$ と書けます。 $0 < θ < \frac{π}{2}$ では $sin 2 θ$ は $2 θ = \frac{π}{2}$ つまり $θ = \frac{π}{4}$ （45°）で最大の 1 となるので、同じ速さなら 45° で投げたときに最も遠くまで飛びます（投げた点と落ちる点が同じ高さで、空気抵抗を無視するとき）。

手順

座標の向きを決める：投げた点を原点、水平に投げる向きを $x$ 軸の正、鉛直上向きを $y$ 軸の正とする。
初速度を分解する：水平成分 $v_{0} cos θ$ 、鉛直成分 $v_{0} sin θ$ 。
2 方向の式を立てる：水平は $x = v_{0} cos θ \cdot t$ 、鉛直は $v_{y} = v_{0} sin θ - g t$ 、 $y = v_{0} sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$ 。
求めたい量の条件を鉛直方向の式に入れて時刻を求める：最高点は $v_{y} = 0$ より $t_{1} = \frac{v _{0} sin θ}{g}$ 、同じ高さに戻るのは $y = 0$ より $t_{2} = \frac{2 v _{0} sin θ}{g}$ 。
求めた時刻を使って高さや水平距離を計算する： $H = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} θ}{2 g}$ 、 $L = v_{0} cos θ \cdot t_{2} = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}$ 。

例題

水平な地面上の点から、小球を水平から $3 0^{\circ}$ 上向きに、速さ $v_{0}$ で投げ上げた。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球が再び地面に落ちるまでに水平方向に進んだ距離を、 $v_{0}$ , $g$ を用いて求めよ。

例題の解答

【手順 1】投げた点を原点とし、投げた向きの水平方向を $x$ 軸の正、鉛直上向きを $y$ 軸の正とする。
【手順 2】初速度を分解する。水平成分は $v_{0} cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} v_{0}$ 、鉛直成分は $v_{0} sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} v_{0}$ 。
【手順 3】水平方向は $x = \frac{3}{2} v_{0} t$ 、鉛直方向は $y = \frac{1}{2} v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ 。
【手順 4】地面に落ちるのは $y = 0$ のとき。 $t (\frac{1}{2} v_{0} - \frac{1}{2} g t) = 0$ より、 $t \neq = 0$ の解は $t_{2} = \frac{v _{0}}{g}$ 。
【手順 5】この時刻の $x$ を求める。 $L = \frac{3}{2} v_{0} \cdot \frac{v _{0}}{g} = \frac{3 v _{0}^{2}}{2 g}$ 。
（確かめ： $L = \frac{v _{0}^{2} sin 6 0 ^{\circ}}{g} = \frac{3 v _{0}^{2}}{2 g}$ と一致する。）

答え: $\frac{3 v _{0}^{2}}{2 g}$

よくある誤り

水平成分と鉛直成分の $sin$ と $cos$ を取り違える誤り。角 $θ$ を水平から測るなら、正しくは水平成分 $v_{0} cos θ$ 、鉛直成分 $v_{0} sin θ$ （角を鉛直から測るときは入れかわる）。
最高点では物体が止まるとして速さを 0 としてしまう誤り。正しくは、0 になるのは鉛直成分 $v_{y}$ だけで、最高点の速さは水平成分の $v_{0} cos θ$ のまま。
地面に戻るまでの時間を最高点までの時間 $\frac{v _{0} sin θ}{g}$ のまま使い、水平到達距離を $\frac{v _{0}^{2} sin θ cos θ}{g}$ としてしまう誤り。正しくは、同じ高さに戻るまでの時間は $\frac{2 v _{0} sin θ}{g}$ で、 $L = \frac{2 v _{0}^{2} sin θ cos θ}{g} = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}$ 。
崖の上から投げるなど、投げた点と落ちる点の高さが違う場合にも $L = \frac{v _{0}^{2} sin 2 θ}{g}$ を使ってしまう誤り。この式は同じ高さに戻る場合だけ成り立つ。高さが違うときは、落ちる点の $y$ の値（例えば $y = - h$ ）を $y = v_{0} sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$ に入れて $t > 0$ の解を求め、それを $x = v_{0} cos θ \cdot t$ に代入する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

斜方投射

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題