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運動の表し方の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理運動の表し方

水平な地面上の点 $O$ から、小球を水平面と $3 0^{\circ}$ の角をなす斜め上向きに、速さ $19.6 m/s$ で投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視する。小球が達する最高点の地面からの高さは何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

O

19.6 m/s

3 0^{\circ}

この問題で使うもの

斜方投射（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（56 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

斜方投射の技能を使います。初速度を水平成分と鉛直成分に分け、鉛直方向だけを鉛直投げ上げとして考えましょう。

ヒント 2

初速度の鉛直成分は $v_{0} sin 3 0^{\circ}$ です。最高点では速度の鉛直成分が $0$ になるので、 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ が使えます。

ヒント 3

鉛直成分は $19.6 \times \frac{1}{2} = 9.8 m/s$ です。上向きを正として $0^{2} - 9. 8^{2} = 2 \times (- 9.8) \times H$ を解きます。

答えと解説

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4.9

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解説を読む

方針　斜方投射では、初速度を水平成分と鉛直成分に分ける。水平方向は等速直線運動、鉛直方向は初速度 $v_{0} sin θ$ の鉛直投げ上げとして別々に扱う。空気抵抗を無視するので、小球にはたらく力は重力（鉛直下向き）だけであり、水平方向の加速度は $0$ 、鉛直方向の加速度は下向きに $g$ である。

1. 初速度を分解する　鉛直上向きを正とする。初速度の鉛直成分は
$v_{0} sin 3 0^{\circ} = 19.6 \times \frac{1}{2} = 9.8 m/s$
（水平成分は $v_{0} cos 3 0^{\circ}$ だが、最高点の高さには使わない。）

2. 最高点の条件　最高点では速度の鉛直成分が $0$ になる（水平成分は残っている）。

3. 鉛直方向に等加速度直線運動の式を使う　鉛直方向の加速度は $- 9.8 m/ s^{2}$ なので、最高点の高さを $H$ とすると $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ より
$0^{2} - 9. 8^{2} = 2 \times (- 9.8) \times H$
$H = \frac{9. 8 ^{2}}{2 \times 9.8} = \frac{9.8}{2} = 4.9 m$

（参考: 一般には $H = \frac{( v _{0} sin θ ) ^{2}}{2 g}$ である。また最高点に達する時間は $0 = 9.8 - 9.8 t$ より $t = 1.0 s$ で、 $H = 9.8 \times 1.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 1. 0^{2} = 4.9 m$ と求めてもよい。）

よって答えは $4.9 m$ 。

別解

鉛直方向の初速度は $v_{y} = 19.6 sin 3 0^{\circ} = 9.8 m/s$ 。最高点では鉛直速度が 0 なので、 $0^{2} - v_{y}^{2} = - 2 g H$ より $H = v_{y}^{2} / (2 g) = 9. 8^{2} / (2 \times 9.8) = 4.9 m$ 。検算：最高点に達する時間は $t = v_{y} / g = 1.0 s$ 、高さは $9.8 \times 1.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 1. 0^{2} = 4.9 m$ で一致。有効数字 2 桁で 4.9。

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