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運動の表し方の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理運動の表し方

地面から小球を鉛直上向きに、速さ $14 m/s$ で投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視する。小球が達する最高点の地面からの高さは何 m か。

14 m/s

地面

この問題で使うもの

自由落下と鉛直投げ上げ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

鉛直投げ上げの技能を使います。上向きを正とすると、加速度は $- g$ の等加速度直線運動になります。

ヒント 2

最高点では速度が $0$ になります。時間が与えられていないので、 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ を使います。

ヒント 3

$0^{2} - 1 4^{2} = 2 \times (- 9.8) \times h$ を $h$ について解きます。

答えと解説

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10

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解説を読む

向きと加速度を決める

鉛直上向きを正の向きとします。投げ上げた後の小球には重力だけがはたらくので、加速度は下向きで大きさ $g$ です。上向きを正としたので、加速度は $- g = - 9.8 m/ s^{2}$ です。初速度は $v_{0} = 14 m/s$ です。

最高点の条件

最高点では、小球は上昇から下降に切りかわるので、速度が $0$ になります。

式を選んで計算する

時間を使わずに速度と変位を結びつける式 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ を使います。 $v = 0$ , $a = - g$ を代入すると
$0^{2} - v_{0}^{2} = 2 \times (- g) \times h$
となるので
$h = \frac{v _{0}^{2}}{2 g}$
です。数値を代入すると
$h = \frac{1 4 ^{2}}{2 \times 9.8} = \frac{196}{19.6} = 10 m$
となります。

（確認） $v = v_{0} - g t$ で $v = 0$ とおくと、最高点に達する時刻は $t = \frac{14}{9.8} = \frac{10}{7} s$ です。これを $x = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ に代入すると $14 \times \frac{10}{7} - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (\frac{10}{7})^{2} = 20 - 10 = 10 m$ となり、同じ結果になります。

よって、最高点の高さは $10 m$ です。

別解

最高点では速さが 0 になる。鉛直上向きを正とすると、加速度は $- g$ である。等加速度直線運動の式 $v^{2} - v_{0}^{2} = - 2 g h$ に $v = 0$ を代入すると、 $h = \frac{v _{0}^{2}}{2 g} = \frac{1 4 ^{2}}{2 \times 9.8} = \frac{196}{19.6} = 10$ m。
検算：最高点に達するまでの時間は $t = v_{0} / g = 14/9.8 = 10/7$ s。高さは $h = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} = 14 \times \frac{10}{7} - 4.9 \times \frac{100}{49} = 20 - 10 = 10$ m で一致する。力学的エネルギー保存の式 $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g h$ からも同じ結果になる。

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