水平投射

水平方向は速さ $v_{0}$ の等速直線運動、鉛直方向は自由落下として分けて扱い、落下時間 $\frac{2 h}{g}$ 、水平到達距離、地面に達する直前の速さと向きを求められる

前提

自由落下と鉛直投げ上げ（高校物理運動の表し方）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）

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算数中学高校大学大学院

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速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）

説明

水平投射とは、高いところから物体を真横（水平）に投げ出す運動です。この技能を使うと、物体が地面に落ちるまでの時間、投げた地点から落下地点までの水平距離、地面に達する直前の速さと向きを求められます。机の端から転がり落ちるボールや、崖から水平に投げた石などの問題で使います。

なぜそうしてよいのか

物体に働く力は重力だけ（空気抵抗は無視）とします。重力は鉛直下向きなので、加速度も鉛直下向きに大きさ $g$ で、水平方向の加速度は $0$ です。そこで、速度と位置を水平成分と鉛直成分に分けて考えます（速度の分解）。水平方向は加速度が $0$ なので、速度は初めの $v_{0}$ のまま変わらず、等速直線運動になります。鉛直方向は、投げた瞬間の鉛直方向の速度が $0$ で、加速度が下向きに $g$ なので、真下に静かに落とした物体と同じ自由落下になります。

2 つの方向の運動は、同じ時刻 $t$ を共有しながら互いに影響しません。鉛直下向きを正にすると、落下距離は $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ です。高さ $h$ から投げたとき、 $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ を解くと落下時間は $t = \frac{2 h}{g}$ になります。この時間は $v_{0}$ に関係しません。横に速く投げても、真下に落としても、同時に地面に着きます。その間に水平方向へ進む距離は $x = v_{0} t = v_{0} \frac{2 h}{g}$ です。

地面に達する直前の速度は、水平成分 $v_{x} = v_{0}$ と鉛直成分 $v_{y} = g t = 2 g h$ をベクトルとして合成したものです。速さは三平方の定理から $v = v_{0}^{2} + 2 g h$ です。向きは、水平方向から下向きに角 $θ$ をなし、 $tan θ = \frac{v _{y}}{v _{x}}$ を満たします。

手順

投げ出した点を原点にとり、水平方向（投げた向き）を $x$ 軸の正、鉛直下向きを $y$ 軸の正にとる。
水平方向の運動は等速直線運動として、 $v_{x} = v_{0}$ 、 $x = v_{0} t$ と書く。
鉛直方向の運動は自由落下として、 $v_{y} = g t$ 、 $y = \frac{1}{2} g t^{2}$ と書く。
地面に達する時刻を求める。 $y = h$ とおいて $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ を解き、 $t > 0$ から $t = \frac{2 h}{g}$ とする。
求めた $t$ を水平方向の式に代入して、水平到達距離 $x = v_{0} t$ を求める。
地面に達する直前の速さと向きが必要なら、 $v_{x}$ と $v_{y}$ を合成する。速さは $v = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$ 、向きは水平から下向きに角 $θ$ で $tan θ = \frac{v _{y}}{v _{x}}$ とする。

例題

高さ $4.9 m$ の台の端から、小球を水平方向に速さ $3.0 m/s$ で投げ出した。小球が地面に落ちた点は、投げ出した点の真下の点から水平方向に何 m 離れているか。有効数字 2 桁で求めよ。重力加速度の大きさを $9.8 m/s^{2}$ とし、空気抵抗は無視する。地面は水平とする。

例題の解答

手順 1：投げ出した点を原点とし、投げた向きを $x$ 軸の正、鉛直下向きを $y$ 軸の正にとる。
手順 2：水平方向は速さ $3.0 m/s$ の等速直線運動なので、 $x = 3.0 t$ である。
手順 3：鉛直方向は自由落下なので、 $y = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^{2} = 4.9 t^{2}$ である。
手順 4：地面に達するのは $y = 4.9 m$ のときである。 $4.9 = 4.9 t^{2}$ より $t^{2} = 1.0$ となり、 $t > 0$ から $t = 1.0 s$ である。
手順 5：この時刻を $x = 3.0 t$ に代入すると、 $x = 3.0 \times 1.0 = 3.0 m$ となる。
よって、落下点は投げ出した点の真下から $3.0 m$ 離れている。

答え: $3.0$

よくある誤り

鉛直方向にも初速度 $v_{0}$ があるとして $h = v_{0} t + \frac{1}{2} g t^{2}$ としてしまう誤り。正しくは、水平に投げたので鉛直方向の初速度は $0$ であり、 $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ となる。
水平に速く投げるほど落下時間が長くなると考えてしまう誤り。正しくは、落下時間 $t = \frac{2 h}{g}$ は $v_{0}$ に関係しない。 $v_{0}$ が大きくなると変わるのは、水平到達距離 $x = v_{0} t$ だけである。
地面に達する直前の速さを $v_{0} + g t$ と、成分をそのまま足してしまう誤り。正しくは、水平成分と鉛直成分は直交するので、ベクトルとして合成して $v = v_{0}^{2} + (g t)^{2} = v_{0}^{2} + 2 g h$ となる。
速度の向きを $tan θ = \frac{v _{0}}{g t}$ と分母と分子を逆にしてしまう誤り。正しくは、水平方向から測った角 $θ$ では $tan θ = \frac{v _{y}}{v _{x}} = \frac{g t}{v _{0}}$ となる。どの方向から測った角なのかを必ず確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

斜方投射（高校物理運動の表し方）