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運動の表し方の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理運動の表し方

水平な地面から高さ $h$ の点 $P$ から、小球を静かにはなした（初速度 $0$ ）。小球は鉛直に落下して地面に達した。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球が地面に達する直前の速さを、 $g$ , $h$ を用いて表せ。

P

h

地面

この問題で使うもの

自由落下と鉛直投げ上げ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（32 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

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ヒント

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ヒント 1

「自由落下」の技能を使います。鉛直下向きを正の向きに決めると、初速度 $0$ 、加速度 $+ g$ の等加速度直線運動になります。

ヒント 2

時間がわかっていないので、時間を含まない式 $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$ を使うと速く求められます。

ヒント 3

$v_{0} = 0$ , $a = g$ , $x = h$ を代入すると $v^{2} = 2 g h$ となります。あとは $v > 0$ に注意して $v$ を求めましょう。

答えと解説

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2 g h

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解説を読む

小球は静かにはなされ、空気抵抗を無視するので、重力だけを受けて落下します。このとき小球は、鉛直下向きに大きさ $g$ の一定の加速度で運動します（自由落下）。

向きを決める：鉛直下向きを正とし、点 $P$ を原点とします。すると初速度は $v_{0} = 0$ 、加速度は $a = + g$ です。

式を選ぶ：時間は問われていないので、時間を含まない等加速度直線運動の式
$v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a x$
を使います。地面に達するまでの変位は $x = h$ なので、地面に達する直前の速度を $v$ として
$v^{2} - 0^{2} = 2 g h$
$v^{2} = 2 g h$

速さを求める：下向きを正としたので $v > 0$ です。よって
$v = 2 g h$

（別解： $x = \frac{1}{2} g t^{2}$ に $x = h$ を代入すると $t = \frac{2 h}{g}$ 。これを $v = g t$ に代入すると $v = g \frac{2 h}{g} = 2 g h$ となり、同じ結果になります。）

別解

自由落下なので等加速度直線運動である。落下距離 $h$ 、初速度 $0$ 、加速度 $g$ より、 $v^{2} - 0^{2} = 2 g h$ 。したがって $v = 2 g h$ 。
別解（力学的エネルギー保存則）: $m g h = \frac{1}{2} m v^{2}$ より $v = 2 g h$ 。
検算: $t = 2 h / g$ で $v = g t = g 2 h / g = 2 g h$ となり一致する。

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