運動の表し方の問題

方針：A から見た B の運動（相対運動）を考える。A を原点に止めて見ると、B は「相対速度」で等速直線運動する点になる。その点と原点の距離の最小値を求めればよい。

1. 座標と速度を決める
東向きを $x$ 軸の正、北向きを $y$ 軸の正とし、時刻 $t=0$ の A の位置を原点とする。
$${\vec{v}}_A=(3.0,0),{\vec{v}}_B=(0,-4.0)(m/s)$$

2. A から見た B の相対速度
$${\vec{v}}_{AB}={\vec{v}}_B-{\vec{v}}_A=(0-3.0,-4.0-0)=(-3.0,-4.0)$$
A と B はどちらも等速なので、相対速度も一定である。

3. A から見た B の位置（相対位置）
時刻 $0$ での相対位置は $(0,100)$ だから、時刻 $t$ では
$$\vec{r}(t)=(0,100)+t(-3.0,-4.0)=(-3t,100-4t)$$
この $|\vec{r}(t)|$ が A と B の距離である。

4. 距離の 2 乗を $t$ の 2 次関数で表して平方完成する
$$|\vec{r}(t){|}^2=(-3t{)}^2+(100-4t{)}^2=9t^2+10000-800t+16t^2=25t^2-800t+10000$$
$$=25(t^2-32t)+10000=25(t-16{)}^2-25\cdot 256+10000=25(t-16{)}^2+3600$$
よって $t=16\mathrm{s}$ のとき $|\vec{r}{|}^2$ は最小値 $3600$ をとり、距離の最小値は
$$\sqrt{3600}=60\mathrm{m}$$

（確かめ） A から見ると、B は点 $(0,100)$ を通り向き $(-3,-4)$ の直線上を動く。原点からこの直線までの距離は、直線の向きと $y$ 軸のなす角を $\theta$ とすると $\sin \theta =\frac{3}{5}$ なので $100\times \frac{3}{5}=60\mathrm{m}$ となり、一致する。

答え：$60$ m

A の位置を原点とし、東を $x$ 軸正、北を $y$ 軸正とする。

$t=0$ で A は $(0,0)$、B は $(0,100)$ にいる。

A の位置は $(3.0t,0)$、B の位置は $(0,100-4.0t)$ である。

B の A に対する相対位置は $(-3.0t,100-4.0t)$ なので、距離の2乗は
$d^2=(3.0t{)}^2+(100-4.0t{)}^2=9t^2+10000-800t+16t^2=25t^2-800t+10000$

平方完成すると $25(t-16{)}^2+10000-6400=25(t-16{)}^2+3600$ となる。

$t=16\mathrm{s}(>0)$ のとき最小で、$d^2=3600$ より $d=60\mathrm{m}$。

別解として相対速度を用いる。A に対する B の相対速度は $(-3.0,-4.0)$ で、速さは $5.0m/s$。初めの相対位置は $(0,100)$ である。この直線と原点との距離は、外積を使って $|0\cdot (-4.0)-100\cdot (-3.0)|/5.0=300/5.0=60\mathrm{m}$。

検算として $t=16$ で A は $(48,0)$、B は $(0,36)$ にいる。距離は $\sqrt{48^2+36^2}=60\mathrm{m}$ となり一致する。

答えは $60\mathrm{m}$。