運動の表し方の問題

東向きを $x$ 軸の正、北向きを $y$ 軸の正とし、点 $\mathrm{O}$ を原点とする（長さの単位は m、時間の単位は s）。

1. A から見た B の速度（相対速度）を求める。
地面に対する速度は ${\vec{v}}_A=(4,0)$、${\vec{v}}_B=(0,-3)$ である。A から見た B の速度は
$${\vec{v}}_{AB}={\vec{v}}_B-{\vec{v}}_A=(0-4,-3-0)=(-4,-3)$$

2. A から見た B の位置を時刻 $t$ で表す。
$t=0$ で A から見た B の位置は $(0,60)$ である。A も B も等速直線運動なので、A から見ると B は速度 ${\vec{v}}_{AB}$ で等速直線運動する点として動く。よって時刻 $t$ における A から見た B の位置ベクトル $\vec{r}$ は
$$\vec{r}=(0,60)+t(-4,-3)=(-4t,60-3t)$$
（実際、A の位置 $(4t,0)$、B の位置 $(0,60-3t)$ の差になっている。）

3. 距離の 2 乗を $t$ の 2 次関数として平方完成する。
$$|\vec{r}{|}^2=(-4t{)}^2+(60-3t{)}^2=16t^2+9t^2-360t+3600=25t^2-360t+3600$$
$$=25(t^2-14.4t)+3600=25(t-7.2{)}^2-25\times 51.84+3600=25(t-7.2{)}^2+2304$$

4. 最小値を求める。
$t\ge 0$ の範囲に頂点 $t=7.2$ が含まれるので、$|\vec{r}{|}^2$ は $t=7.2\mathrm{s}$ で最小値 $2304$ をとる。距離は正なので、最小値は
$$|\vec{r}|=\sqrt{2304}=48\mathrm{m}$$

（参考: 相対速度の大きさは $\sqrt{4^2+3^2}=5m/s$ で、A から見た B は $(0,60)$ から向き $(-4,-3)$ の直線上を動く。原点からこの直線までの距離として求めても $60\times \frac{4}{5}=48\mathrm{m}$ となる。）

点 O を原点とし、東向きを x 軸、北向きを y 軸の正とする。時刻 $t$ での船 A の位置は $(4t,0)$、船 B の位置は $(0,60-3t)$ である。

距離の2乗は
$d^2=(4t{)}^2+(60-3t{)}^2=16t^2+3600-360t+9t^2=25t^2-360t+3600$

平方完成すると
$d^2=25{\left(t-\frac{36}{5}\right)}^2+3600-25\cdot \frac{1296}{25}=25{\left(t-7.2\right)}^2+3600-1296$

よって $d^2=25(t-7.2{)}^2+2304$ となる。

$t=7.2\mathrm{s}$ は $t\ge 0$ を満たす。このとき $d^2$ は最小値 $2304$ をとり、$d=\sqrt{2304}=48$。

別解（相対運動）：B に対する A の相対速度は $(4,3)$ で大きさ $5m/s$、初期の相対位置は $(0,-60)$ である。相対位置の直線から原点までの距離は $|0\cdot 3-(-60)\cdot 4|/5=240/5=48$ となり、一致する。

検算：$t=7.2$ で A は $(28.8,0)$、B は $(0,38.4)$。距離は $\sqrt{28.8^2+38.4^2}=9.6\sqrt{3^2+4^2}=48$ となり、確かめられた。