ベクトルの大きさの最小値

$∣ a + t b ∣^{2}$ を $t$ の 2 次関数で表して平方完成し、 $∣ a + t b ∣$ を最小にする $t$ と最小値を求められる

前提

内積の計算法則と大きさの展開（数学C ベクトル）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

$t$ が実数全体を動くとき、ベクトル $a + t b$ の大きさがいちばん小さくなる $t$ と、そのときの大きさ（最小値）を求められるようになります。 $∣ a + t b ∣^{2}$ を展開すると $t$ の 2 次式になるので、平方完成で最小値がわかります。点から直線までの最短距離や、動く点どうしの距離の最小値を求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

大きさ $∣ a + t b ∣$ は根号を含むので、そのままでは扱いにくいです。そこで 2 乗した $∣ a + t b ∣^{2}$ を考えます。大きさは常に $0$ 以上で、 $0$ 以上の数どうしでは「2 乗が小さいほど元の数も小さい」ので、 $∣ a + t b ∣^{2}$ を最小にする $t$ と $∣ a + t b ∣$ を最小にする $t$ は同じです。最後に 2 乗の最小値の正の平方根をとれば、大きさの最小値になります。

前提の展開を $p = 1, q = t$ として使うと $∣ a + t b ∣^{2} = ∣ b ∣^{2} t^{2} + 2 (a \cdot b) t + ∣ a ∣^{2}$ となります。 $∣ a ∣, ∣ b ∣, a \cdot b$ はすべて決まった数なので、これは $t$ の 2 次関数です。 $b \neq = 0$ なら $t^{2}$ の係数 $∣ b ∣^{2}$ は正なので、グラフは下に凸の放物線になり、頂点で最小になります。だから平方完成して頂点を求めればよいのです。

図形的には、点 $a + t b$ は $t$ が動くと直線上を動き、その大きさは原点からの距離です。距離が最小になるのは $a + t b$ が $b$ と垂直になるとき（垂線の足）で、平方完成で得られる $t = - \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}}$ はちょうど $(a + t b) \cdot b = 0$ を満たす値になっています。

手順

大きさをそのまま扱わず、2 乗 $∣ a + t b ∣^{2}$ を考える
展開する: $∣ a + t b ∣^{2} = ∣ b ∣^{2} t^{2} + 2 (a \cdot b) t + ∣ a ∣^{2}$ に与えられた値を代入し、 $t$ の 2 次式にする
平方完成して $k (t - p)^{2} + q$ （ $k > 0$ ）の形にし、 $t = p$ で最小値 $q$ をとることを読み取る（ $t$ の範囲に制限があれば、頂点がその範囲に入るか確かめる）
2 乗の最小値 $q$ の正の平方根 $q$ をとり、 $∣ a + t b ∣$ の最小値とする

例題

$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , $a \cdot b = 3$ とする。 $t$ が実数全体を動くとき、 $∣ a + t b ∣$ の最小値を求めよ。

例題の解答

手順1: $∣ a + t b ∣^{2}$ を考える。

手順2: 展開して値を代入すると
$∣ a + t b ∣^{2} = ∣ b ∣^{2} t^{2} + 2 (a \cdot b) t + ∣ a ∣^{2} = 4 t^{2} + 6 t + 9$

手順3: 平方完成する。
$4 t^{2} + 6 t + 9 = 4 (t^{2} + \frac{3}{2} t) + 9 = 4 (t + \frac{3}{4})^{2} - 4 \cdot \frac{9}{16} + 9 = 4 (t + \frac{3}{4})^{2} + \frac{27}{4}$
$t$ は実数全体を動くので、 $t = - \frac{3}{4}$ のとき $∣ a + t b ∣^{2}$ は最小値 $\frac{27}{4}$ をとる。

手順4: $∣ a + t b ∣ ≧ 0$ なので、最小値は $\frac{27}{4} = \frac{3 3}{2}$ （ $t = - \frac{3}{4}$ のとき）。

答え: $\frac{3 3}{2}$

よくある誤り

2 乗の最小値をそのまま答えてしまう誤り。例題で $\frac{27}{4}$ と答えるのは $∣ a + t b ∣^{2}$ の最小値。正しくは平方根をとって $\frac{3 3}{2}$
展開で $t$ の 1 次の項の係数 2 を落とす誤り。 $∣ a + t b ∣^{2} = 4 t^{2} + 3 t + 9$ としてしまう。正しくは $∣ b ∣^{2} t^{2} + 2 (a \cdot b) t + ∣ a ∣^{2} = 4 t^{2} + 6 t + 9$
$t^{2}$ の係数でくくって平方完成するとき、引く数に係数を掛け忘れる誤り。 $4 (t + \frac{3}{4})^{2} + 9 - \frac{9}{16}$ としてしまう。正しくは $4 (t + \frac{3}{4})^{2} + 9 - 4 \cdot \frac{9}{16} = 4 (t + \frac{3}{4})^{2} + \frac{27}{4}$
$t$ の範囲に制限があるのに頂点の値をそのまま使う誤り。例えば $t ≧ 0$ なら頂点 $t = - \frac{3}{4}$ は範囲外なので、例題の式では $t = 0$ で最小となり、最小値は $9 = 3$ になる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

相対運動と最接近距離（高校物理運動の表し方）