ベクトルの問題

$|\vec{a}+t\vec{b}|$ は $0$ 以上なので、$|\vec{a}+t\vec{b}|$ が最小になるのは $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ が最小になるときである。そこで、2 乗を $t$ の 2 次関数で表す。

手順 1：2 乗を展開する
$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2t\vec{a}\cdot \vec{b}+t^2|\vec{b}{|}^2$$
ここに $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=-3$ を代入すると
$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=9+2t\cdot (-3)+4t^2=4t^2-6t+9$$

手順 2：平方完成する
$$4t^2-6t+9=4\left(t^2-\frac{3}{2}t\right)+9=4{\left(t-\frac{3}{4}\right)}^2-4\cdot \frac{9}{16}+9=4{\left(t-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{27}{4}$$

手順 3：最小値を読み取る
$t$ は実数全体を動くので、$4{\left(t-\frac{3}{4}\right)}^2\ge 0$ より、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ は $t=\frac{3}{4}$ のとき最小値 $\frac{27}{4}$ をとる。

手順 4：2 乗をはずす
$|\vec{a}+t\vec{b}|\ge 0$ なので、最小値は
$$\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

よって、$t=\frac{3}{4}$ のとき最小値 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ をとる。答えは $\left(\frac{3}{4},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ である。

$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2t\vec{a}\cdot \vec{b}+t^2|\vec{b}{|}^2=9-6t+4t^2$。
平方完成すると $4{\left(t-\frac{3}{4}\right)}^2+9-\frac{9}{4}=4{\left(t-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{27}{4}$。
よって $t=\frac{3}{4}$ のとき $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ は最小値 $\frac{27}{4}$ をとる。
最小値は $\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
検算：$t=\frac{3}{4}$ を代入すると $9-\frac{18}{4}+4\cdot \frac{9}{16}=9-4.5+2.25=6.75=\frac{27}{4}$ で一致する。
また、$\cos \theta =-\frac{1}{2}$ より $\theta =120^{\circ }$ であり、$\vec{a}$ の $\vec{b}$ に垂直な成分の大きさは $3\sin 60^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ となり、これも一致する。