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ベクトルの問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C ベクトル

$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 1$ で、 $a$ と $b$ のなす角が $12 0^{\circ}$ であるとする。 $t$ が実数全体を動くとき、 $∣ a + t b ∣$ を最小にする $t$ の値と、そのときの $∣ a + t b ∣$ の最小値を、この順に組 $(t, 最小値)$ の形で求めよ。

a

b

12 0^{\circ}

この問題で使うもの

ベクトルの大きさの最小値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「ベクトルの大きさの最小値」を使います。 $∣ a + t b ∣$ はそのままでは扱いにくいので、2乗した $∣ a + t b ∣^{2}$ を $t$ の2次関数として考えましょう。

ヒント 2

$∣ a + t b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + 2 t a \cdot b + t^{2} ∣ b ∣^{2}$ と展開します。内積は $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos 12 0^{\circ}$ で求められます。

ヒント 3

$a \cdot b = - 1$ なので、 $∣ a + t b ∣^{2} = t^{2} - 2 t + 4$ となります。これを平方完成して最小値を調べ、最後に平方根をとりましょう。

答えと解説

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(1, 3)

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解説を読む

手順1：内積の値を求める。

なす角が $12 0^{\circ}$ なので
$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos 12 0^{\circ} = 2 \cdot 1 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1$

手順2： $∣ a + t b ∣^{2}$ を $t$ の式で表す。

大きさのままでは扱いにくいので、2乗して展開する。
$∣ a + t b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + 2 t a \cdot b + t^{2} ∣ b ∣^{2} = 4 + 2 t \cdot (- 1) + t^{2} \cdot 1 = t^{2} - 2 t + 4$

手順3：平方完成する。
$t^{2} - 2 t + 4 = (t - 1)^{2} + 3$
$(t - 1)^{2} \geq 0$ なので、これは $t = 1$ のとき最小値 $3$ をとる。

手順4：もとの大きさに戻す。

$∣ a + t b ∣ \geq 0$ であるから、 $∣ a + t b ∣^{2}$ が最小のとき $∣ a + t b ∣$ も最小になる。よって $t = 1$ のとき最小値は $3$ 。

答え： $(t, 最小値) = (1, 3)$

別解

$a \cdot b = 2 \cdot 1 \cdot cos 12 0^{\circ} = - 1$ である。
$∣ a + t b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + 2 t a \cdot b + t^{2} ∣ b ∣^{2} = 4 - 2 t + t^{2} = (t - 1)^{2} + 3$ 。
これは $t = 1$ のとき最小値 $3$ をとる。
よって $∣ a + t b ∣$ の最小値は $3$ である。
検算： $t = 1$ のとき $∣ a + b ∣^{2} = 4 + 1 + 2 (- 1) = 3$ となり、 $3$ で一致する。また $(a + b) \cdot b = - 1 + 1 = 0$ なので、垂直条件とも合う。
答えは $(1, 3)$ 。

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