ベクトルの問題

成分で計算すると
$$\vec{a}+t\vec{b}=(3+t,-1+2t)$$
である。よって
$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=(3+t{)}^2+(-1+2t{)}^2=(9+6t+t^2)+(1-4t+4t^2)=5t^2+2t+10$$
となる。これを平方完成すると
$$5t^2+2t+10=5\left(t^2+\frac{2}{5}t\right)+10=5{\left(t+\frac{1}{5}\right)}^2-\frac{1}{5}+10=5{\left(t+\frac{1}{5}\right)}^2+\frac{49}{5}$$
である。

(参考) 内積を使うと、$|\vec{a}{|}^2=9+1=10$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 1+(-1)\cdot 2=1$, $|\vec{b}{|}^2=1+4=5$ より
$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2t\vec{a}\cdot \vec{b}+t^2|\vec{b}{|}^2=10+2t+5t^2$$
となり、成分で計算した結果と一致する。

したがって $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ は $t=-\frac{1}{5}$ のとき最小値 $\frac{49}{5}$ をとる。$|\vec{a}+t\vec{b}|\geqq 0$ なので、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ が最小のとき $|\vec{a}+t\vec{b}|$ も最小になる。その最小値は
$$\sqrt{\frac{49}{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$$
である。

(確認) $t=-\frac{1}{5}$ のとき $\vec{a}+t\vec{b}=\left(\frac{14}{5},-\frac{7}{5}\right)$ である。$\vec{b}$ との内積は $\frac{14}{5}-\frac{14}{5}=0$ となり、$\vec{b}$ と垂直である。大きさは $\sqrt{\frac{196+49}{25}}=\frac{\sqrt{245}}{5}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$ となり、上の結果と一致する。

$\vec{a}+t\vec{b}=(3+t,-1+2t)$ より、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=(3+t{)}^2+(2t-1{)}^2=5t^2+2t+10=5{\left(t+\frac{1}{5}\right)}^2+\frac{49}{5}$。よって $t=-\frac{1}{5}$ のとき最小値 $\frac{49}{5}$ をとり、$|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{\frac{49}{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$。
検算：$t=-\frac{1}{5}$ のとき $\vec{a}+t\vec{b}=(\frac{14}{5},-\frac{7}{5})$、大きさの2乗は $\frac{196+49}{25}=\frac{245}{25}=\frac{49}{5}$ で一致。別法として $|\vec{a}{|}^2-\frac{(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}{|\vec{b}{|}^2}=10-\frac{1}{5}=\frac{49}{5}$ とも一致。