ベクトルの問題

手順 1: 大きさの 2 乗を $t$ の式で表す。

$|\vec{a}+t\vec{b}|$ はそのままでは扱いにくいので、2 乗して内積の計算法則で展開します。
$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2t\vec{a}\cdot \vec{b}+t^2|\vec{b}{|}^2$$
$|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=-3$ を代入すると
$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=9+2t\cdot (-3)+4t^2=4t^2-6t+9$$
これは $t$ の 2 次関数です。

手順 2: 平方完成する。
$$4t^2-6t+9=4\left(t^2-\frac{3}{2}t\right)+9=4{\left(t-\frac{3}{4}\right)}^2-4\cdot \frac{9}{16}+9=4{\left(t-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{27}{4}$$

手順 3: 最小値を読み取る。

$t$ は実数全体を動くので、$4{\left(t-\frac{3}{4}\right)}^2\ge 0$ より、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ は $t=\frac{3}{4}$ のとき最小値 $\frac{27}{4}$ をとります。

手順 4: 2 乗をはずす。

$|\vec{a}+t\vec{b}|\ge 0$ なので、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ が最小のとき $|\vec{a}+t\vec{b}|$ も最小です。よって最小値は
$$\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

したがって、$t=\frac{3}{4}$ のとき最小値 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ をとり、答えは $\left(\frac{3}{4},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ です。

$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2t\vec{a}\cdot \vec{b}+t^2|\vec{b}{|}^2=9-6t+4t^2$。平方完成すると $4(t-\frac{3}{4}{)}^2+9-\frac{9}{4}=4(t-\frac{3}{4}{)}^2+\frac{27}{4}$。よって $t=\frac{3}{4}$ のとき $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ は最小値 $\frac{27}{4}$ をとる。このとき $|\vec{a}+t\vec{b}|=\sqrt{27/4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。検算：$t=\frac{3}{4}$ を代入すると $9-\frac{18}{4}+4\cdot \frac{9}{16}=9-4.5+2.25=6.75=\frac{27}{4}$ で一致する。また $\vec{a}\cdot \vec{b}=-3$ は $|\vec{a}||\vec{b}|=6$ 以下で矛盾しない。