ベクトルの問題

まず必要な量を成分で計算する。
$$|\vec{a}{|}^2=3^2+(-1{)}^2=10,|\vec{b}{|}^2=1^2+2^2=5,\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 1+(-1)\cdot 2=1$$
$|\vec{a}+t\vec{b}|\geqq 0$ なので、$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2$ が最小になるとき $|\vec{a}+t\vec{b}|$ も最小になる。
$$|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2t\vec{a}\cdot \vec{b}+t^2|\vec{b}{|}^2=5t^2+2t+10$$
平方完成すると
$$5t^2+2t+10=5{\left(t+\frac{1}{5}\right)}^2-\frac{1}{5}+10=5{\left(t+\frac{1}{5}\right)}^2+\frac{49}{5}$$
よって $t=-\frac{1}{5}$ のとき最小値 $\frac{49}{5}$ をとる。したがって $|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値は
$$\sqrt{\frac{49}{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$$
(確認) $t=-\frac{1}{5}$ のとき $\vec{a}+t\vec{b}=\left(\frac{14}{5},-\frac{7}{5}\right)$ で、大きさは $\frac{7}{5}\sqrt{4+1}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$。また $\left(\frac{14}{5},-\frac{7}{5}\right)\cdot (1,2)=\frac{14}{5}-\frac{14}{5}=0$ より、このとき $\vec{a}+t\vec{b}\perp \vec{b}$ となっており、図形的にも妥当である。
答えは $\left(-\frac{1}{5},\frac{7\sqrt{5}}{5}\right)$。

$\vec{a}+t\vec{b}=(3+t,-1+2t)$ より $|\vec{a}+t\vec{b}{|}^2=(3+t{)}^2+(2t-1{)}^2=5t^2+2t+10$。平方完成すると $5{\left(t+\frac{1}{5}\right)}^2+10-\frac{1}{5}=5{\left(t+\frac{1}{5}\right)}^2+\frac{49}{5}$。よって $t=-\frac{1}{5}$ のとき最小で、最小値は $\sqrt{\frac{49}{5}}=\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$。検算：$t=-1/5$ のとき $\vec{a}+t\vec{b}=(14/5,-7/5)$、大きさは $\sqrt{196/25+49/25}=\sqrt{245/25}=\sqrt{49/5}=7/\sqrt{5}$。また $\vec{b}$ との内積は $14/5-14/5=0$ で垂直となり、最小の条件を満たす。