相対運動と最接近距離

一方の物体から見た他方の運動を、相対速度で等速直線運動する点として表し、2 物体の距離を時刻の 2 次関数とみて（または相対速度の直線と点の距離として）最接近の時刻と距離の最小値を求められる

前提

相対速度（高校物理運動の表し方）
ベクトルの大きさの最小値（数学C ベクトル）

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算数中学高校大学大学院

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ベクトルの大きさの最小値（数学C ベクトル）

説明

2 つの物体がそれぞれ等速直線運動をしているとき、2 つが最も近づく時刻と、そのときの距離（最接近距離）を求められるようになります。たとえば、海上ですれ違う 2 隻の船が衝突の危険があるかを調べる場面や、動く観測者から見た物体の通り道を考える場面で使います。一方の物体に乗って見ると、他方は相対速度で一直線に進む点に見えます。この見方を使うと、問題が「動く点と止まった点の距離の最小値」に置き換わります。

なぜそうしてよいのか

時刻 $t$ における A, B の位置ベクトルを $r_{A} (t) = r_{A} (0) + t v_{A}$ , $r_{B} (t) = r_{B} (0) + t v_{B}$ とします（どちらも等速直線運動）。A から見た B の位置（相対位置）は、差をとって $r (t) = r_{B} (t) - r_{A} (t) = r_{0} (r_{B} (0) - r_{A} (0)) + t u (v_{B} - v_{A})$ となります。 $u$ は前提で学んだ相対速度 $v_{A B}$ そのものです。つまり A を原点に固定して眺めると、B は位置 $r_{0}$ から一定の速度 $u$ で等速直線運動する点に見えます。

2 物体の距離は $∣ r (t) ∣ = ∣ r_{0} + t u ∣$ なので、これを最小にする $t$ を探せばよいことになります。これは前提の技能「ベクトルの大きさの最小値」と同じ形です。 $u \neq = 0$ のとき $∣ r (t) ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} t^{2} + 2 (r_{0} \cdot u) t + ∣ r_{0} ∣^{2}$ は $t$ の 2 次関数で、 $t^{2}$ の係数 $∣ u ∣^{2}$ が正です。したがって平方完成すると、頂点の $t = - \frac{r _{0} \cdot u}{∣ u ∣ ^{2}}$ で最小になります。 $u = 0$ なら距離は $∣ r_{0} ∣$ のまま変わりません。

図形で見ると、B の見かけの通り道は「 $r_{0}$ の点を通り向きが $u$ の直線」です。最接近距離は、原点（A）からこの直線に下ろした垂線の長さになります。最接近の瞬間には $r ⊥ u$ 、つまり $r \cdot u = 0$ が成り立ちます。これは上の $t$ の式と一致します。

手順

座標軸を決め、時刻 $0$ での A, B の位置と速度を成分で書く。
相対位置の初期値 $r_{0} = r_{B} (0) - r_{A} (0)$ と相対速度 $u = v_{B} - v_{A}$ を求める（どちらも「B から A を引く」でそろえる）。
A から見た B の位置を $r (t) = r_{0} + t u$ と成分で表す。
距離の 2 乗 $∣ r (t) ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} t^{2} + 2 (r_{0} \cdot u) t + ∣ r_{0} ∣^{2}$ を平方完成し、最小となる時刻 $t^{*} = - \frac{r _{0} \cdot u}{∣ u ∣ ^{2}}$ を求める。
$t^{*}$ が考える時刻の範囲（ふつうは $t \geq 0$ ）に入っているか確かめる。入っていれば最接近距離は $∣ r (t^{*}) ∣$ 、入っていなければ範囲の端（ $t = 0$ など）で最小になる。最後に 2 乗をはずして（正の平方根をとって）距離にする。

例題

水平な平面上に $x$ 軸（東向き）と $y$ 軸（北向き）をとる。時刻 $t = 0$ s に、物体 A は原点 $(0, 0)$ にあり、東向きに一定の速さ $4.0$ m/s で進む。同じ時刻に、物体 B は点 $(0, 30)$ （単位 m）にあり、南向きに一定の速さ $3.0$ m/s で進む。 $t \geq 0$ で A と B の距離が最小になる時刻 $t$ [s] と、そのときの距離 [m] を、この順に有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

【手順 1】A の位置は $(0, 0)$ 、速度は $v_{A} = (4.0, 0)$ です。B の位置は $(0, 30)$ 、速度は $v_{B} = (0, - 3.0)$ です。
【手順 2】 $r_{0} = (0, 30) - (0, 0) = (0, 30)$ 、 $u = v_{B} - v_{A} = (- 4.0, - 3.0)$ となります。相対速度の大きさは $∣ u ∣ = 16 + 9 = 5.0$ m/s です。
【手順 3】 $r (t) = (- 4.0 t, 30 - 3.0 t)$ です。
【手順 4】 $∣ r (t) ∣^{2} = 16 t^{2} + (30 - 3 t)^{2} = 25 t^{2} - 180 t + 900 = 25 (t - 3.6)^{2} + 576$ となります。よって $t^{*} = 3.6$ s です。公式で確かめると、 $r_{0} \cdot u = 0 \times (- 4) + 30 \times (- 3) = - 90$ より $t^{*} = - \frac{- 90}{25} = 3.6$ で一致します。
【手順 5】 $t^{*} = 3.6 \geq 0$ なので範囲内です。このとき $∣ r ∣^{2} = 576$ なので、最接近距離は $576 = 24$ m です。図形で確かめると、点 $(0, 30)$ を通り向き $(- 4, - 3)$ の直線と原点の距離は $\frac{∣0 \times ( - 3 ) - 30 \times ( - 4 ) ∣}{5} = \frac{120}{5} = 24$ m となり、一致します。
答え：時刻 $3.6$ s、距離 $24$ m。

答え: $(3.6, 24)$

よくある誤り

相対位置を $r_{0} = r_{B} - r_{A}$ としておきながら、相対速度を $v_{A} - v_{B}$ としてしまう誤り。例題でこうすると $u = (4, 3)$ になり、 $t^{*} = - 3.6$ s という誤った時刻が出ます。正しくは、位置も速度も「B $-$ A」で引く向きをそろえ、 $u = v_{B} - v_{A} = (- 4, - 3)$ とします。
相対速度の大きさを、速さどうしの足し算や引き算で $4.0 + 3.0 = 7.0$ m/s や $4.0 - 3.0 = 1.0$ m/s としてしまう誤り。正しくはベクトルの差の大きさで求め、 $∣ u ∣ = 4. 0^{2} + 3. 0^{2} = 5.0$ m/s です。
距離の 2 乗の最小値を、そのまま距離として答えてしまう誤り（例題で $576$ m と答えるなど）。正しくは、平方完成で出てくる値は $∣ r ∣^{2}$ なので、正の平方根をとって $576 = 24$ m とします。
頂点の時刻 $t^{*} = - \frac{r _{0} \cdot u}{∣ u ∣ ^{2}}$ が負になったのに、その時刻の距離を答えてしまう誤り。 $t^{*} < 0$ は、2 物体がすでに遠ざかり始めていることを表します。 $t \geq 0$ だけを考えるなら、距離は $t = 0$ で最小となり、最小値は $∣ r_{0} ∣$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
広くおだやかな海面上を、2 隻の船 A, B が進んでいる。A は東向きに一定の速さ $u$ で、B は南向きに一定の速さ $w$ で、それぞれまっすぐ進んでいる。ある時刻に、B は A の真北の距離 $d$ の位置にあった。その後、A と B の間の距離はしだいに小さくなり、ある時刻に最小になった後、大きくなっていった。A と B の間の距離の最小値を、 $d$ , $u$ , $w$ を用いて表せ。ただし、 $d$ , $u$ , $w$ は正の定数とし、船の大きさは無視する。また、海面は平面とみなし、海流はないものとする。
$A$ $B$ $u$ $w$ $d$ 北