運動の表し方の問題

東向きを $x$ 軸の正の向き、北向きを $y$ 軸の正の向きとし、$\mathrm{O}$ を原点とする座標をとる（長さの単位は m、時間の単位は s）。

1. A から見た B の相対速度を求める

A の速度は ${\vec{v}}_{\mathrm{A}}=(4.0,0)$、B の速度は ${\vec{v}}_{\mathrm{B}}=(0,3.0)$ である。A から見た B の速度（相対速度）は
$${\vec{v}}_{\mathrm{AB}}={\vec{v}}_{\mathrm{B}}-{\vec{v}}_{\mathrm{A}}=(-4.0,3.0)$$

2. A から見た B の位置を時刻の式で表す

$t=0$ での A の位置は $(-100,0)$、B の位置は $(0,-50)$ なので、A から見た B の位置（相対位置）は $(100,-50)$ である。A, B はどちらも等速直線運動をするので、A から見ると B は相対速度 ${\vec{v}}_{\mathrm{AB}}$ で等速直線運動する。したがって時刻 $t$ での相対位置は
$$\vec{r}(t)=(100-4t,-50+3t)$$

3. 距離の 2 乗を $t$ の 2 次関数として平方完成する

A と B の距離は $|\vec{r}(t)|$ であり、
$$|\vec{r}(t){|}^2=(100-4t{)}^2+(3t-50{)}^2=16t^2-800t+10000+9t^2-300t+2500$$
$$=25t^2-1100t+12500=25(t^2-44t)+12500=25(t-22{)}^2-12100+12500$$
$$=25(t-22{)}^2+400$$

4. 最小値を読み取る

$t\ge 0$ の範囲で、$|\vec{r}(t){|}^2$ は $t=22$ のとき最小値 $400$ をとる。よって距離の最小値は
$$\sqrt{400}=20\mathrm{m}$$
（確認: $t=22\mathrm{s}$ のとき A は $\mathrm{O}$ の西 $12\mathrm{m}$、B は $\mathrm{O}$ の北 $16\mathrm{m}$ にあり、距離は $\sqrt{12^2+16^2}=20\mathrm{m}$ となって一致する。）

答え: $20\mathrm{m}$

点 $\mathrm{O}$ を原点、東向きを $x$ 軸正、北向きを $y$ 軸正とする。時刻 $t$ での位置は A $(-100+4.0t,0)$、B $(0,-50+3.0t)$ である。
距離の2乗は
$d^2=(4t-100{)}^2+(3t-50{)}^2=25t^2-1100t+12500=25(t-22{)}^2+400$。
$t=22\mathrm{s}$（$t\ge 0$ を満たす）で最小となり、$d^2=400$ より $d=20\mathrm{m}$。
検算: B から見た A の相対位置は $(-100,50)$、相対速度は $(4,-3)$ で速さ 5。原点を通る直線との距離の公式より $|(-100)(-3)-50\cdot 4|/5=100/5=20$。一致する。
有効数字2桁で $20\mathrm{m}$（$2.0\times 10^1$）。