みみず鎖モデルと持続長

接線ベクトルの相関 $e^{- ∣ s - s^{'} ∣/ P}$ を 2 重に積分して $⟨ R^{2} ⟩ = 2 P L - 2 P^{2} (1 - e^{- L / P})$ を導き、持続長 $P$ と輪郭長 $L$ から $⟨ R^{2} ⟩$ を求められる

前提

理想鎖の平均二乗末端間距離（大学化学高分子化学）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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重積分と累次積分（大学数学微分積分）

説明

DNA の二重らせんや剛直な高分子のように、短い範囲ではほぼまっすぐで長い範囲では曲がっている鎖を、なめらかに曲がるひも（みみず鎖）として扱い、その広がり $⟨ R^{2} ⟩$ を求められるようになります。鎖の硬さは「向きの記憶がどれだけの長さ続くか」を表す持続長 $P$ で表し、鎖に沿った全長（輪郭長） $L$ とあわせて $⟨ R^{2} ⟩ = 2 P L - 2 P^{2} (1 - e^{- L / P})$ が成り立ちます。この式は、短い鎖では棒、長い鎖では理想鎖のようにふるまうことを 1 つの式で表しており、生体高分子や剛直高分子の大きさの見積もりに使います。

なぜそうしてよいのか

鎖に沿って端から測った長さ（弧長）を $s$ （ $0 \leq s \leq L$ ）とし、位置 $s$ での鎖の向きを表す長さ 1 のベクトル（接線ベクトル）を $t (s)$ とします。結合ベクトルの和 $R = \sum_{i} l_{i}$ を、短い区間 $d s$ のベクトル $t (s) d s$ を足し合わせたものに置き換えると $R = \int_{0}^{L} t (s) d s$ です。前提の技能の $⟨ R^{2} ⟩ = \sum_{i, j} ⟨ l_{i} \cdot l_{j} ⟩$ の和が積分になり
$⟨ R^{2} ⟩ = \int_{0}^{L} \int_{0}^{L} ⟨ t (s) \cdot t (s^{'})⟩ d s d s^{'}$
となります。自由回転鎖では $k$ 個離れた結合の相関が $cos^{k} θ$ と等比的に減りました。これを連続にしたのがみみず鎖で、距離 $∣ s - s^{'} ∣$ だけ離れた 2 点の向きの相関が指数関数的に減ると考えて
$⟨ t (s) \cdot t (s^{'})⟩ = e^{- ∣ s - s^{'} ∣/ P}$
とおきます。 $P$ が持続長で、鎖に沿って $P$ 進むと向きの相関が $1/ e$ になります。

この 2 重積分を計算します。被積分関数は $s$ と $s^{'}$ を入れ替えても変わらないので、正方形 $0 \leq s, s^{'} \leq L$ を対角線で分けた三角形 $0 \leq s^{'} \leq s \leq L$ 上の積分の 2 倍に等しく、そこでは $∣ s - s^{'} ∣ = s - s^{'}$ です。累次積分に直すと
$⟨ R^{2} ⟩ = 2 \int_{0}^{L} (\int_{0}^{s} e^{- (s - s^{'}) / P} d s^{'}) d s = 2 \int_{0}^{L} P (1 - e^{- s / P}) d s = 2 P [L - P (1 - e^{- L / P})]$
となり、 $⟨ R^{2} ⟩ = 2 P L - 2 P^{2} (1 - e^{- L / P})$ が得られます（内側は $\int_{0}^{s} e^{- (s - s^{'}) / P} d s^{'} = P [e^{- (s - s^{'}) / P}]_{s^{'} = 0}^{s^{'} = s} = P (1 - e^{- s / P})$ ）。

2 つの極限で意味を確かめます。 $L ≪ P$ のときは $e^{- L / P} \approx 1 - \frac{L}{P} + \frac{L ^{2}}{2 P ^{2}}$ を代入すると $⟨ R^{2} ⟩ \approx L^{2}$ となり、まっすぐな棒です。 $L ≫ P$ のときは $e^{- L / P} \to 0$ 、さらに $2 P^{2}$ が $2 P L$ に比べて無視でき $⟨ R^{2} ⟩ \approx 2 P L$ となり、長さ $2 P$ の線分を $L / (2 P)$ 本自由につないだ自由連結鎖（ $n l^{2}$ で $n = L /2 P, l = 2 P$ ）と同じ広がりになります。

手順

持続長 $P$ と輪郭長 $L$ を同じ長さの単位で確認する（輪郭長が単位の数で与えられたら、1 単位の長さを掛けて $L$ にする）
比 $L / P$ を計算し、 $e^{- L / P}$ を求める
$⟨ R^{2} ⟩ = 2 P L - 2 P^{2} (1 - e^{- L / P})$ に代入する
必要に応じて極限で確かめる： $L ≪ P$ なら $\approx L^{2}$ （棒）、 $L ≫ P$ なら $\approx 2 P L$ （理想鎖）

例題

持続長 $P = 50 nm$ の DNA 断片の輪郭長が $L = 100 nm$ である。みみず鎖モデル $⟨ R^{2} ⟩ = 2 P L - 2 P^{2} (1 - e^{- L / P})$ が成り立つとして、平均二乗末端間距離 $⟨ R^{2} ⟩$ を $nm^{2}$ 単位で、 $e$ を含む正確な形で求めよ。

例題の解答

手順 1： $P = 50 nm$ 、 $L = 100 nm$ 。単位はそろっている。

手順 2： $\frac{L}{P} = 2$ なので $e^{- L / P} = e^{- 2}$ 。

手順 3：
$⟨ R^{2} ⟩ = 2 \times 50 \times 100 - 2 \times 5 0^{2} \times (1 - e^{- 2}) = 10000 - 5000 (1 - e^{- 2}) = 5000 + 5000 e^{- 2} = 5000 (1 + e^{- 2})$

手順 4：数値では $e^{- 2} \approx 0.135$ より $⟨ R^{2} ⟩ \approx 5.68 \times 1 0^{3} nm^{2}$ 。棒の極限 $L^{2} = 10000 nm^{2}$ と理想鎖の極限 $2 P L = 10000 nm^{2}$ のどちらよりも小さく、 $L$ と $P$ が同程度の中間的な領域であることがわかる。（ $L \approx P$ では 2 つの極限式はどちらもよい近似にならない。）

答え: $5000 (1 + e^{- 2})$

よくある誤り

相関関数の絶対値を外して全領域で $e^{- (s - s^{'}) / P}$ を積分してしまう誤り。 $s^{'} > s$ の部分では指数が正になってしまう。正しくは対称性を使って三角形 $0 \leq s^{'} \leq s \leq L$ 上の積分の 2 倍とし、 $⟨ R^{2} ⟩ = 2 \int_{0}^{L} \int_{0}^{s} e^{- (s - s^{'}) / P} d s^{'} d s$ 。
2 倍を忘れて $⟨ R^{2} ⟩ = P L - P^{2} (1 - e^{- L / P})$ としてしまう誤り。三角形 $s^{'} \leq s$ と $s^{'} \geq s$ の 2 つの部分があるので、正しくは $2 P L - 2 P^{2} (1 - e^{- L / P})$ （ $L ≪ P$ で $L^{2}$ に一致することで確かめられる）。
長い鎖の極限を $⟨ R^{2} ⟩ \approx P L$ や $⟨ R^{2} ⟩ \approx L^{2}$ としてしまう誤り。 $L ≫ P$ では $⟨ R^{2} ⟩ \approx 2 P L$ で、 $L$ に比例する（理想鎖と同じ）。 $L^{2}$ は $L ≪ P$ の棒の極限。
持続長 $P$ を、自由連結鎖に置き換えたときの線分の長さ（クーン長）と同じとみなし $⟨ R^{2} ⟩ \approx \frac{L}{P} \cdot P^{2} = P L$ としてしまう誤り。長い極限での等価な線分の長さは $2 P$ で、 $⟨ R^{2} ⟩ \approx \frac{L}{2 P} (2 P)^{2} = 2 P L$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
二本鎖 DNA の短い断片を、持続長 $P = 50 nm$ 、輪郭長 $L = 100 nm$ のみみず鎖とみなす。みみず鎖では、鎖に沿った位置 $s$ と $s^{'}$ における単位接線ベクトル $u (s)$ , $u (s^{'})$ の相関が
$⟨ u (s) \cdot u (s^{'})⟩ = e^{- ∣ s - s^{'} ∣/ P}$
で表され、平均二乗末端間距離は
$⟨ R^{2} ⟩ = 2 P L - 2 P^{2} (1 - e^{- L / P})$
となる。この DNA 断片の $⟨ R^{2} ⟩$ は何 $nm^{2}$ か。 $e$ を含む正確な値で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の演習問題レベル）
排除体積効果を無視できる半屈曲性高分子を、みみず鎖（Kratky–Porod）モデルで扱う。鎖の全経路長（輪郭長）を $L$ とし、鎖に沿った経路長 $s$ （ $0 \leq s \leq L$ ）の位置での単位接線ベクトルを $u (s)$ とする。末端間ベクトルは
$R = \int_{0}^{L} u (s) d s$
で与えられる。また、接線ベクトルの配向相関は持続長 $P$ （ $P > 0$ ）を用いて
$⟨ u (s) \cdot u (s^{'})⟩ = exp (- \frac{∣ s - s ^{'} ∣}{P})$
で表されるとする（ $⟨ ⟩$ は配置についての平均）。輪郭長が $L = 2 P$ のとき、平均二乗末端間距離と輪郭長の 2 乗の比 $⟨ R^{2} ⟩ / L^{2}$ を正確な値で求めよ。