微分積分の問題

媒介変数表示された曲線 $(x(t),y(t))$, $\alpha \le t\le \beta$ で $y(t)\ge 0$ のとき、$x$ 軸のまわりの回転面の面積は
$$S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$$
である。

$y\ge 0$ の確認 $y=t\left(1-\frac{t^2}{3}\right)$ で、$0\le t\le \sqrt{3}$ では $t\ge 0$, $1-\frac{t^2}{3}\ge 0$ なので $y\ge 0$。

線素の計算 $\frac{dx}{dt}=2t$, $\frac{dy}{dt}=1-t^2$ より
$${\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2=4t^2+1-2t^2+t^4=t^4+2t^2+1=(1+t^2{)}^2.$$
よって $\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}=1+t^2$。

積分
$$\left(t-\frac{t^3}{3}\right)(1+t^2)=t+t^3-\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{3}=t+\frac{2}{3}{t}^3-\frac{1}{3}{t}^5$$
より
$${\int }_0^{\sqrt{3}}\left(t+\frac{2}{3}{t}^3-\frac{1}{3}{t}^5\right)dt={\left[\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{6}-\frac{t^6}{18}\right]}_0^{\sqrt{3}}=\frac{3}{2}+\frac{9}{6}-\frac{27}{18}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$$

したがって
$$S=2\pi \cdot \frac{3}{2}=3\pi .$$

回転体の側面積は $S=2\pi \int yds$。$\frac{dx}{dt}=2t$, $\frac{dy}{dt}=1-t^2$ より
$$ds=\sqrt{4t^2+(1-t^2{)}^2}dt=\sqrt{(1+t^2{)}^2}dt=(1+t^2)dt.$$
$0\le t\le \sqrt{3}$ で $y=t(1-t^2/3)\ge 0$、また $x=t^2$ は単調増加なので曲線は $x$ 軸の上側を一度だけ通る。
$$S=2\pi {\int }_0^{\sqrt{3}}\left(t-\frac{t^3}{3}\right)(1+t^2)dt=2\pi {\int }_0^{\sqrt{3}}\left(t+\frac{2}{3}{t}^3-\frac{1}{3}{t}^5\right)dt=2\pi {\left[\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{6}-\frac{t^6}{18}\right]}_0^{\sqrt{3}}.$$
$t^2=3$ を代入して $\frac{3}{2}+\frac{9}{6}-\frac{27}{18}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。よって $S=2\pi \cdot \frac{3}{2}=3\pi$。