極限の問題

方針

$x\to \infty$ のとき、$\sqrt{x^2+6x}\to \infty$、$x\to \infty$ です。そのため、このままでは $\infty -\infty$ の不定形になり、極限はわかりません。数列の極限のときと同じように、分子の有理化をして形を変えます。

手順 1：分子の有理化

$\sqrt{x^2+6x}+x$ を分母と分子に掛けます。

$x\to \infty$ を考えるので $x>0$ としてよく、このとき $\sqrt{x^2+6x}+x>0$ です。

$$\sqrt{x^2+6x}-x=\frac{\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+6x}+x\right)}{\sqrt{x^2+6x}+x}$$

分子は $(x^2+6x)-x^2=6x$ なので、

$$\sqrt{x^2+6x}-x=\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}$$

となります。

手順 2：分母と分子を $x$ で割る

$x>0$ のとき $\sqrt{x^2+6x}=x\sqrt{1+\frac{6}{x}}$ です。したがって、

$$\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\frac{6x}{x\sqrt{1+\frac{6}{x}}+x}=\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}$$

手順 3：極限をとる

$x\to \infty$ のとき $\frac{6}{x}\to 0$ です。よって

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)=\frac{6}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{6}{2}=3$$

答えは $3$ です。

有理化する。$\sqrt{x^2+6x}-x=\frac{(x^2+6x)-x^2}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}$。$x>0$ として分母分子を $x$ で割ると $\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}$。$x\to \infty$ のとき $\frac{6}{x}\to 0$ なので、極限値は $\frac{6}{1+1}=3$。検算：$x=1000$ のとき $\sqrt{1006000}\approx 1002.997$ なので差は約 $2.997$ で、3 に近い。