極限の問題

方針： $x\to \infty$ のとき $\sqrt{x^2+6x}\to \infty$、$x\to \infty$ なので、このままでは $\infty -\infty$ の不定形になり、極限はわかりません。数列の極限と同じように、分子の有理化をして形を変えます。

手順1：分子の有理化

$\sqrt{x^2+6x}+x$ を分母と分子に掛けると、
$$\sqrt{x^2+6x}-x=\frac{\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+6x}+x\right)}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\frac{(x^2+6x)-x^2}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}$$
となります。これで $\frac{\infty }{\infty }$ の形になりました。

手順2：分母の最高次の項で割る

$x\to \infty$ を考えるので $x>0$ としてよく、このとき $x=\sqrt{x^2}$ です。分母・分子を $x$ で割ると、
$$\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\frac{6}{\sqrt{\frac{x^2+6x}{x^2}}+1}=\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}$$

手順3：極限を求める

$x\to \infty$ のとき $\frac{6}{x}\to 0$ なので、
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}=\frac{6}{\sqrt{1}+1}=\frac{6}{2}=3$$

よって、求める極限値は $3$ です。

有理化する。$\sqrt{x^2+6x}-x=\frac{(x^2+6x)-x^2}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}$。$x>0$ として分子・分母を $x$ で割ると $\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}$。$x\to \infty$ のとき $\sqrt{1+6/x}\to 1$ なので、極限値は $\frac{6}{1+1}=3$。検算：$x=1000$ のとき $\sqrt{1006000}\approx 1002.996$ なので差は約 $2.996$ で、3 に近い。