熱工学・伝熱の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理熱工学・伝熱

断面が 1 辺 $w = 0.40 m$ の正方形である、十分に長いダクトがある（奥行き方向の端の影響は無視し、2 次元として扱う）。ダクトの 4 つの内壁面のうち、

底面（面 1）: 温度 $T_{1} = 800 K$ に保たれ、放射率 $ε_{1} = 0.80$
上面（面 2、面 1 と向かい合う）: 温度 $T_{2} = 400 K$ に保たれ、放射率 $ε_{2} = 0.50$
2 つの側面: 外側が完全に断熱されており、内面では対流も伝導もない再放射面（正味の放射熱流束が $0$ の面）

とする。すべての面は灰色の拡散面で、各面の温度・放射度（ラジオシティ）は面内で一様とみなす。ダクト内の気体は放射を吸収・放射しない。ステファン・ボルツマン定数を $σ = 5.67 \times 1 0^{- 8} W/(m^{2} \cdot K^{4})$ とする。

定常状態で、面 1 から面 2 へ正味に運ばれる放射伝熱量を、ダクトの長さ $1 m$ あたりで求めよ。単位は $W/m$ とし、有効数字 3 桁で答えよ。

この問題で使うもの

灰色面の閉空間の放射回路網（説明と入口の問題）
形態係数（説明と入口の問題）
ステファン・ボルツマンの法則と灰色面の放射（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

面 1・面 2・2 つの側面（まとめて再放射面 R）の 3 面からなる閉空間として、放射回路（表面抵抗と空間抵抗）で考えよう。まず形態係数が必要になる。

ヒント 2

十分に長いダクトなので交差線法が使える。向かい合う面の形態係数は $F_{12} = 2 - 1$ 。再放射面は表面抵抗に熱が流れないので、 $J_{1}$ と $J_{2}$ を結ぶ経路として扱える。

ヒント 3

$J_{1}$ – $J_{2}$ 間の合成コンダクタンスは $w F_{12} + (\frac{1}{w F _{1 R}} + \frac{1}{w F _{2 R}})^{- 1} = \frac{2}{2} w$ 。これに面 1, 2 の表面抵抗 $\frac{1 - ε _{i}}{ε _{i} w}$ を直列につなぐ。

答えと解説

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3.27 \times 1 0^{3}

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解説を読む

形態係数（交差線法）. 2 次元（十分に長い）形状では、交差線法（Hottel の方法）により
$F_{12} = \frac{( 交差する糸の長さの和 ) - ( 交差しない糸の長さの和 )}{2 \times ( 面 1 の幅 )}$
で形態係数が求まる。向かい合う面 1, 2（幅 $w$ 、間隔 $w$ ）では、交差する糸は 2 本の対角線（各 $2 w$ ）、交差しない糸は 2 つの側面（各 $w$ ）なので
$F_{12} = \frac{2 2 w - 2 w}{2 w} = 2 - 1.$
面 1 は平面で自分自身を見ないので $F_{11} = 0$ 。総和則より、面 1 から 2 つの側面をまとめた面 R への形態係数は
$F_{1 R} = 1 - F_{12} = 2 - 2 .$
対称性から $F_{21} = 2 - 1$ , $F_{2 R} = 2 - 2$ である。また左右対称なので 2 つの側面の放射度は等しく、まとめて 1 つの面 R として扱える。

放射回路. 灰色拡散面なので、各面 $i$ の正味放射熱量は放射度 $J_{i}$ を用いて $Q_{i} = \frac{E _{bi} - J _{i}}{( 1 - ε _{i} ) / ( ε _{i} A _{i} )}$ （ $E_{bi} = σ T_{i}^{4}$ ）、面間の交換は $\frac{J _{i} - J _{j}}{1/ ( A _{i} F _{ij} )}$ と表せる。再放射面 R は $Q_{R} = 0$ なので、回路上では $J_{1}$ と $J_{2}$ の間を $J_{R}$ 経由でつなぐ経路となる（表面抵抗には電流が流れない）。長さ $1 m$ あたり $A_{1} = A_{2} = w$ として、 $J_{1}$ – $J_{2}$ 間の合成コンダクタンスは
$A_{1} F ˉ = A_{1} F_{12} + \frac{1}{\frac{1}{A _{1} F _{1 R}} + \frac{1}{A _{2} F _{2 R}}} = w [(2 - 1) + \frac{2 - 2}{2}] = \frac{2}{2} w .$
したがって
$Q^{'} = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{\frac{1 - ε _{1}}{ε _{1} w} + \frac{1}{F ˉ w} + \frac{1 - ε _{2}}{ε _{2} w}} .$

数値計算.
$σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4}) = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times (4.096 \times 1 0^{11} - 2.56 \times 1 0^{10}) = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times 3.84 \times 1 0^{11} = 2.177 \times 1 0^{4} W/m^{2} .$
各抵抗（単位 $m^{- 1}$ ）は
$\frac{1 - ε _{1}}{ε _{1} w} = \frac{0.20}{0.80 \times 0.40} = 0.625, \frac{1}{F ˉ w} = \frac{1}{0.7071 \times 0.40} = 3.536, \frac{1 - ε _{2}}{ε _{2} w} = \frac{0.50}{0.50 \times 0.40} = 2.50.$
合計は $6.661 m^{- 1}$ なので
$Q^{'} = \frac{2.177 \times 1 0 ^{4}}{6.661} \approx 3.27 \times 1 0^{3} W/m .$

別解

面 1, 2 を向かい合う正方形ダクトの底面・上面、側面を面 3, 4（再放射面）とする。奥行き 1 m あたりで、各面の面積は $A = w \times 1 = 0.40 m^{2}$ 。

1. 視覚係数（2 次元、等しい幅 $w$ の向かい合う平行平面）: $F_{12} = 1 + 1 - 1 = 2 - 1 = 0.41421$ 。総和則より $F_{13} = F_{14} = (1 - F_{12}) /2 = (2 - 2) /2 = 0.29289$ 。相反則と面積が等しいことから $F_{31} = F_{32} = F_{13} = 0.29289$ 。

2. 黒体放射能: $E_{b 1} = σ T_{1}^{4} = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times 80 0^{4} = 23224 W/m^{2}$ 、 $E_{b 2} = σ T_{2}^{4} = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times 40 0^{4} = 1451.5 W/m^{2}$ 。

3. 再放射面: 正味の熱流束 0 なので $J_{3} = E_{b 3}$ 。対称性より $J_{3} = J_{4} = J_{r}$ で、面 3 の収支 $F_{31} (J_{1} - J_{r}) + F_{32} (J_{2} - J_{r}) = 0$ から $J_{r} = (J_{1} + J_{2}) /2$ 。

4. 面 1 から出る単位面積あたりの正味の熱流束 $q$ は、
$q = \frac{E _{b 1} - J _{1}}{( 1 - ε _{1} ) / ε _{1}} = F_{12} (J_{1} - J_{2}) + 2 F_{13} (J_{1} - J_{r}) = (F_{12} + F_{13}) (J_{1} - J_{2}) = 0.70711 (J_{1} - J_{2})$ 。
面 2 では $q = \frac{J _{2} - E _{b 2}}{( 1 - ε _{2} ) / ε _{2}}$ 。

5. 熱抵抗の直列接続（単位面積あたり）:
$q = \frac{E _{b 1} - E _{b 2}}{\frac{1 - ε _{1}}{ε _{1}} + \frac{1}{F _{12} + F _{13}} + \frac{1 - ε _{2}}{ε _{2}}} = \frac{21772.8}{0.25 + 1.41421 + 1} = \frac{21772.8}{2.66421} = 8172 W/m^{2}$ 。

6. $Q = q A = 8172 \times 0.40 = 3269 W/m \approx 3.27 \times 1 0^{3} W/m$ 。

検算: $q = 8172$ より $J_{1} = 23224 - 0.25 \times 8172 = 21181$ 、 $J_{2} = 1451.5 + 8172 = 9623.5$ 。 $0.70711 \times (21181 - 9623.5) = 8172$ となり一致。

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