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熱工学・伝熱の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理熱工学・伝熱

半径 $r_{1} = 0.10 m$ の球（面 1）が、半径 $r_{2} = 0.20 m$ の球殻の内面（面 2）に、中心が一致するように入れられている。2 つの面の間は真空で、熱は放射だけで伝わる。面 1 の温度は $T_{1} = 500 K$ 、面 2 の温度は $T_{2} = 300 K$ に保たれている。2 つの面はともに灰色の拡散面で、放射率はどちらも $0.50$ である。ステファン・ボルツマン定数を $σ = 5.67 \times 1 0^{- 8} W/(m^{2} \cdot K^{4})$ 、円周率を $π = 3.14$ とする。

定常状態で、面 1 から面 2 へ放射によって正味に伝わる熱流量は何 W か。有効数字 2 桁で求めよ。

この問題で使うもの

灰色面の閉空間の放射回路網（説明と入口の問題）
形態係数（説明と入口の問題）
ステファン・ボルツマンの法則と灰色面の放射（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

内側の球から出た放射はすべて外側の球殻に当たる。まず形態係数 $F_{12}$ と、相反関係から $F_{21}$ を求める。

ヒント 2

灰色面 2 面の閉空間では、表面抵抗 $\frac{1 - ε}{ε A}$ と空間抵抗 $\frac{1}{A _{1} F _{12}}$ を直列につないだ回路で $Q_{12} = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{全抵抗}$ と表せる。

ヒント 3

分母を整理すると $\frac{1}{ε _{1}} + \frac{A _{1}}{A _{2}} (\frac{1}{ε _{2}} - 1) = 2.25$ 、また $T_{1}^{4} - T_{2}^{4} = 5.44 \times 1 0^{10} K^{4}$ である。

答えと解説

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1.7 \times 1 0^{2}

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形態係数

面 1 は凸面で、そこから出た放射はすべて面 2 に当たるので、 $F_{12} = 1$ である。相反関係 $A_{1} F_{12} = A_{2} F_{21}$ より
$F_{21} = \frac{A _{1}}{A _{2}} = (\frac{r _{1}}{r _{2}})^{2} = \frac{1}{4}$

正味の放射熱流量

2 つの灰色拡散面だけからなる閉じた空間では、放射の熱抵抗回路（表面抵抗 $\frac{1 - ε}{ε A}$ と空間抵抗 $\frac{1}{A _{1} F _{12}}$ の直列）を考えると
$Q_{12} = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{\frac{1 - ε _{1}}{ε _{1} A _{1}} + \frac{1}{A _{1} F _{12}} + \frac{1 - ε _{2}}{ε _{2} A _{2}}} = \frac{σ A _{1} ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{\frac{1}{ε _{1}} + \frac{A _{1}}{A _{2}} ( \frac{1}{ε _{2}} - 1 )}$
となる（ $F_{12} = 1$ を使った）。

数値を代入する。
- 分母: $\frac{1}{0.50} + \frac{1}{4} (\frac{1}{0.50} - 1) = 2 + 0.25 = 2.25$
- $T_{1}^{4} - T_{2}^{4} = 50 0^{4} - 30 0^{4} = 6.25 \times 1 0^{10} - 0.81 \times 1 0^{10} = 5.44 \times 1 0^{10} K^{4}$
- $A_{1} = 4 π r_{1}^{2} = 4 \times 3.14 \times 0.010 = 0.1256 m^{2}$

よって
$Q_{12} = \frac{5.67 \times 1 0 ^{- 8} \times 0.1256 \times 5.44 \times 1 0 ^{10}}{2.25} = \frac{387.4}{2.25} \approx 1.72 \times 1 0^{2} W$

有効数字 2 桁で $1.7 \times 1 0^{2} W$ である。

別解

同心球間の灰色拡散面の放射伝熱の式を用いる。
$Q = \frac{σ A _{1} ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{\frac{1}{ε _{1}} + \frac{A _{1}}{A _{2}} ( \frac{1}{ε _{2}} - 1 )}$

$A_{1} = 4 π r_{1}^{2} = 4 \times 3.14 \times 0.01 = 0.1256 m^{2}$ 、 $A_{1} / A_{2} = (r_{1} / r_{2})^{2} = 0.25$ 。
分母: $1/0.5 + 0.25 \times (1/0.5 - 1) = 2 + 0.25 = 2.25$ 。
$T_{1}^{4} = 6.25 \times 1 0^{10}$ 、 $T_{2}^{4} = 8.1 \times 1 0^{9}$ 、差 $= 5.44 \times 1 0^{10} K^{4}$ 。
$σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4}) = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times 5.44 \times 1 0^{10} = 3084.5 W/m^{2}$ 。
$Q = 3084.5 \times 0.1256/2.25 = 387.4/2.25 \approx 172 W$ 。

有効数字 2 桁で $1.7 \times 1 0^{2} W$ 。

検算: 面 1 から面 2 への正味熱流を、放射熱抵抗 $(1 - ε_{1}) / (ε_{1} A_{1}) = 7.96$ 、空間抵抗 $1/ (A_{1} F_{12}) = 1/0.1256 = 7.96$ 、 $(1 - ε_{2}) / (ε_{2} A_{2}) = 1/ (0.5 \times 0.5024) = 3.98$ の合計 $19.89$ で、 $E_{b 1} - E_{b 2} = 3084.5$ を割ると $155$ ではなく… 面積を揃えて再確認: $A_{2} = 4 π r_{2}^{2} = 0.5024$ なので $(1 - ε_{2}) / (ε_{2} A_{2}) = 1/ (0.5 \times 0.5024) \times 0.5 = 1.99$ 。合計 $7.96 + 7.96 + 1.99 = 17.91$ 、 $Q = 3084.5/17.91 \approx 172 W$ で一致。

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