熱工学・伝熱の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理熱工学・伝熱

十分に広い 2 枚の平行平板 1, 2 が、真空を隔てて向かい合っている。2 枚の板の温度はそれぞれ $T_{1}$ , $T_{2}$ （ $T_{1} > T_{2}$ ）に一定に保たれている。板 1, 2 の向かい合う面の放射率は、どちらも $ε_{1} = ε_{2} = 0.80$ である。

この 2 枚の板の間に、両面の放射率が $ε_{3} = 0.10$ である薄い放射遮へい板を、板 1, 2 と平行に挿入する。遮へい板の厚さと熱抵抗は無視でき、遮へい板の両面は同じ温度になるとする。

すべての面は灰色拡散面とみなし、平板の端の効果は無視する（向かい合う面どうしの形態係数は $1$ とする）。定常状態において、遮へい板がないときに板 1 から板 2 へ単位面積・単位時間あたりに伝わる正味の放射熱量を $q$ 、遮へい板を挿入したときのそれを $q^{'}$ とする。比 $\frac{q ^{'}}{q}$ を既約分数で求めよ。

この問題で使うもの

ステファン・ボルツマンの法則と灰色面の放射（説明と入口の問題）
灰色面の閉空間の放射回路網（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

遮へい板がないときとあるときの熱流束を、それぞれ放射抵抗（表面抵抗と空間抵抗）の直列回路として表してみよう。

ヒント 2

十分に広い平行平板 2 枚の間の正味の熱流束は $q = \frac{σ ( T _{a}^{4} - T _{b}^{4} )}{1/ ε _{a} + 1/ ε _{b} - 1}$ である。遮へい板を入れると、板 1 → 遮へい板と遮へい板 → 板 2 の熱流束が定常状態で等しくなる。

ヒント 3

遮へい板がないときの分母は $1.5$ である。遮へい板があるときは、2 つの式を足し合わせて $T_{3}^{4}$ を消去すると、全体の分母は $(1/ ε_{1} + 1/ ε_{3} - 1) + (1/ ε_{3} + 1/ ε_{2} - 1)$ になる。

答えと解説

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\frac{3}{41}

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解説を読む

遮へい板がないとき

十分に広い平行平板では、向かい合う面どうしの形態係数は $F_{12} = 1$ である。灰色拡散面どうしの放射交換を放射抵抗の回路で考える。各面の表面抵抗は単位面積あたり $\frac{1 - ε}{ε}$ 、空間抵抗は $\frac{1}{F _{12}} = 1$ である。黒体の放射発散度を $E_{b} = σ T^{4}$ （ $σ$ はステファン・ボルツマン定数）とすると、これらの抵抗は直列につながるので
$q = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{\frac{1 - ε _{1}}{ε _{1}} + 1 + \frac{1 - ε _{2}}{ε _{2}}} = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{\frac{1}{ε _{1}} + \frac{1}{ε _{2}} - 1}$
となる。数値を代入すると
$\frac{1}{0.80} + \frac{1}{0.80} - 1 = 1.25 + 1.25 - 1 = 1.5$
なので、 $q = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{1.5}$ である。

遮へい板を挿入したとき

遮へい板の温度を $T_{3}$ とする。定常状態では遮へい板に熱がたまらないので、板 1 → 遮へい板と遮へい板 → 板 2 の正味の熱流束はどちらも $q^{'}$ で等しい。それぞれの組も十分に広い平行平板（形態係数 $1$ ）なので、上と同じ式が使えて
$q^{'} = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{3}^{4} )}{\frac{1}{ε _{1}} + \frac{1}{ε _{3}} - 1}, q^{'} = \frac{σ ( T _{3}^{4} - T _{2}^{4} )}{\frac{1}{ε _{3}} + \frac{1}{ε _{2}} - 1}$
となる。それぞれ分母を払って足し合わせると $T_{3}^{4}$ が消えて
$σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4}) = q^{'} [(\frac{1}{ε _{1}} + \frac{1}{ε _{3}} - 1) + (\frac{1}{ε _{3}} + \frac{1}{ε _{2}} - 1)]$
が得られる。括弧内の値は
$(1.25 + 10 - 1) + (10 + 1.25 - 1) = 10.25 + 10.25 = 20.5$
なので、 $q^{'} = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{20.5}$ である。

比を求める

$\frac{q ^{'}}{q} = \frac{1.5}{20.5} = \frac{15}{205} = \frac{3}{41}$

放射率の小さい遮へい板を 1 枚入れるだけで、正味の放射伝熱量は約 $7%$ に減る。

別解

灰色拡散面の平行平板間の放射熱流束は、放射率 $ε_{a}, ε_{b}$ の面の間で $q = σ (T_{a}^{4} - T_{b}^{4}) / (1/ ε_{a} + 1/ ε_{b} - 1)$ と表される。

遮へい板がない場合の分母は $1/0.8 + 1/0.8 - 1 = 1.25 + 1.25 - 1 = 1.5$ なので、 $q = σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4}) /1.5$ となる。

遮へい板を挿入した場合は、放射の熱抵抗が直列につながるとみなす。各面の表面抵抗 $(1 - ε) / ε$ と空間抵抗 $1$ を足し合わせる。

板 1: $0.2/0.8 = 0.25$
板 2: $0.25$
遮へい板の両面: それぞれ $0.9/0.1 = 9$ で、合計 $18$
空間抵抗: 2 か所で $2$

合計は $0.25 + 0.25 + 18 + 2 = 20.5$ である。これは、板 1 と遮へい板の間の分母 $1.25 + 10 - 1 = 10.25$ と、遮へい板と板 2 の間の分母 $10.25$ の和 $20.5$ に等しい。したがって $q^{'} = σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4}) /20.5$ となる。

比は $q^{'} / q = 1.5/20.5 = 3/41$ である。

検算: 一般式 $\sum (1/ ε_{i} + 1/ ε_{i + 1} - 1) = 1.25 + 10 - 1 + 10 + 1.25 - 1 = 20.5$ となり、上の結果と一致する。

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