熱工学・伝熱の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理熱工学・伝熱

高温の油を冷却水で冷やす二重管式熱交換器を設計する。運転条件は次のとおりである。

油: 質量流量 $0.80 kg/s$ 、比熱 $2.1 kJ/(kg \cdot K)$ 、入口温度 $90^{\circ} C$ 、出口温度 $50^{\circ} C$
冷却水: 質量流量 $0.80 kg/s$ 、比熱 $4.2 kJ/(kg \cdot K)$ 、入口温度 $10^{\circ} C$

熱交換器は定常状態で運転され、周囲への熱損失はなく、両流体とも相変化しないものとする。比熱は一定とし、熱通過率（総括伝熱係数）は伝熱面上で一様で、流れの形式によらず同じ値とする。

この条件（入口・出口温度と流量）を満たすのに必要な伝熱面積を、向流形とした場合を $A_{c}$ 、並流形とした場合を $A_{p}$ とする。比 $\frac{A _{c}}{A _{p}}$ を、自然対数を用いた正確な形で求めよ。

この問題で使うもの

熱交換器の対数平均温度差（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（40 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

交換熱量と熱通過率は両形式で共通なので、面積の比は対数平均温度差の比で決まります。まずエネルギー収支から冷却水の出口温度を求めましょう。

ヒント 2

$Q = U A Δ T_{lm}$ 、 $Δ T_{lm} = \frac{Δ T _{a} - Δ T _{b}}{lo g ( Δ T _{a} /Δ T _{b} )}$ を使います。並流形と向流形では、両端で組になる温度が違うことに注意しましょう。

ヒント 3

冷却水の出口温度は $30^{\circ} C$ です。並流形の両端の温度差は $80 K$ と $20 K$ 、向流形の両端の温度差は $60 K$ と $40 K$ になります。

答えと解説

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\frac{3 lo g \frac{3}{2}}{2 lo g 2}

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1. 交換熱量と冷却水の出口温度

周囲への熱損失がないので、油が失った熱量はすべて冷却水が受け取る（エネルギー保存）。油の熱容量流量は $C_{h} = 0.80 \times 2.1 = 1.68 kW/K$ 、冷却水の熱容量流量は $C_{c} = 0.80 \times 4.2 = 3.36 kW/K$ である。

$Q = C_{h} (90 - 50) = 1.68 \times 40 = 67.2 kW$

冷却水の温度上昇は
$Δ t_{c} = \frac{Q}{C _{c}} = \frac{67.2}{3.36} = 20 K$
なので、冷却水の出口温度は $10 + 20 = 30^{\circ} C$ である。

2. 必要伝熱面積と対数平均温度差

熱通過率 $U$ が一様なとき、交換熱量は対数平均温度差
$Δ T_{lm} = \frac{Δ T _{a} - Δ T _{b}}{lo g ( Δ T _{a} /Δ T _{b} )}$
（ $Δ T_{a}, Δ T_{b}$ は熱交換器両端での高温側と低温側の温度差）を用いて $Q = U A Δ T_{lm}$ と書ける。よって $A = \frac{Q}{U Δ T _{lm}}$ であり、 $Q$ と $U$ は両形式で共通なので
$\frac{A _{c}}{A _{p}} = \frac{Δ T _{lm,p}}{Δ T _{lm,c}}$
となる。

並流形: 両流体の入口がそろう端で $90 - 10 = 80 K$ 、出口がそろう端で $50 - 30 = 20 K$ 。
$Δ T_{lm,p} = \frac{80 - 20}{lo g 4} = \frac{60}{2 lo g 2} = \frac{30}{lo g 2} K (\approx 43.3 K)$

向流形: 油の入口側の端で $90 - 30 = 60 K$ 、油の出口側の端で $50 - 10 = 40 K$ 。
$Δ T_{lm,c} = \frac{60 - 40}{lo g \frac{3}{2}} = \frac{20}{lo g \frac{3}{2}} K (\approx 49.3 K)$

3. 面積比
$\frac{A _{c}}{A _{p}} = \frac{30}{lo g 2} \cdot \frac{lo g \frac{3}{2}}{20} = \frac{3 lo g \frac{3}{2}}{2 lo g 2} \approx 0.877$

向流形のほうが平均温度差が大きいので、必要な伝熱面積は並流形の約 $0.88$ 倍で済む。

別解

油の放熱量は $Q = 0.80 \times 2.1 \times (90 - 50) = 67.2 kW$ である。冷却水の熱容量流量は $0.80 \times 4.2 = 3.36 kW/K$ なので、水の温度上昇は $67.2/3.36 = 20 K$ となり、水の出口温度は $30^{\circ} C$ である。

向流形では、油の入口側で $Δ T_{1} = 90 - 30 = 60 K$ 、油の出口側で $Δ T_{2} = 50 - 10 = 40 K$ である。対数平均温度差は $Δ T_{l m, c} = \frac{60 - 40}{ln ( 60/40 )} = \frac{20}{ln ( 3/2 )}$ となる。

並流形では、入口側で $Δ T_{1} = 90 - 10 = 80 K$ 、出口側で $Δ T_{2} = 50 - 30 = 20 K$ である。対数平均温度差は $Δ T_{l m, p} = \frac{80 - 20}{ln ( 80/20 )} = \frac{60}{ln 4}$ となる。

$Q = U A Δ T_{l m}$ より $A = Q / (U Δ T_{l m})$ である。 $Q$ と $U$ は両形式で共通なので、 $\frac{A _{c}}{A _{p}} = \frac{Δ T _{l m, p}}{Δ T _{l m, c}} = \frac{60/ ln 4}{20/ ln ( 3/2 )} = \frac{3 ln ( 3/2 )}{ln 4} = \frac{3 ln ( 3/2 )}{2 ln 2}$ となる。

数値は $\approx 0.877$ で、1 より小さい。向流形のほうが必要面積が小さいという予想と合うので、妥当である。

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