複素数平面の問題

$z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおき、等式を $x,y$ の式に直す。

$z-3i=x+(y-3)i$ なので
$$|z-3i|=\sqrt{x^2+(y-3{)}^2},|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$
である。

両辺とも $0$ 以上なので、$|z-3i|=2|z|$ は両辺を $2$ 乗した $|z-3i{|}^2=4|z{|}^2$ と同じ条件である。よって
$$x^2+(y-3{)}^2=4(x^2+y^2)$$
$$x^2+y^2-6y+9=4x^2+4y^2$$
$$3x^2+3y^2+6y-9=0$$
両辺を $3$ で割ると
$$x^2+y^2+2y-3=0$$
となる。$y$ について平方完成すると
$$x^2+(y+1{)}^2-1-3=0$$
$$x^2+(y+1{)}^2=4$$
となる。

これは座標平面で中心 $(0,-1)$、半径 $2$ の円を表す。点 $(0,-1)$ は複素数 $-i$ に対応する。

（別解）$z\bar{z}$ を使って展開する。$|z-3i{|}^2=4|z{|}^2$ より
$$(z-3i)\overline{(z-3i)}=4z\bar{z}$$
$\overline{z-3i}=\bar{z}+3i$ なので、左辺は
$$(z-3i)(\bar{z}+3i)=z\bar{z}+3iz-3i\bar{z}+9$$
である。よって
$$z\bar{z}+3iz-3i\bar{z}+9=4z\bar{z}$$
$$3z\bar{z}-3iz+3i\bar{z}-9=0$$
両辺を $3$ で割ると
$$z\bar{z}-iz+i\bar{z}-3=0$$
ここで
$$(z+i)(\bar{z}-i)=z\bar{z}-iz+i\bar{z}+1$$
であり、$\bar{z}-i=\overline{z+i}$ だから、上の式は
$$(z+i)\overline{(z+i)}-4=0$$
と書き直せる。すなわち
$$|z+i{|}^2=4,|z+i|=2$$
となる。$|z-(-i)|=2$ なので、点 $z$ は点 $-i$ を中心とする半径 $2$ の円を描く。

したがって、円の中心を表す複素数は $-i$ である。

$z=x+yi$ ($x,y$ は実数) とおくと、$|z-3i{|}^2=x^2+(y-3{)}^2$、$4|z{|}^2=4(x^2+y^2)$ である。

$|z-3i|=2|z|$ の両辺は 0 以上なので、2 乗して同値な式にできる。
$x^2+(y-3{)}^2=4x^2+4y^2$
$x^2+y^2-6y+9=4x^2+4y^2$
$3x^2+3y^2+6y-9=0$
$x^2+y^2+2y-3=0$
$x^2+(y+1{)}^2=4$

よって中心は $(0,-1)$、半径は 2 の円である。中心を表す複素数は $-i$ である。

検算: 円上の点 $z=2$ をとると、$|z-3i|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$、$2|z|=4$ で等しくない。$z=2$ は円 $x^2+(y+1{)}^2=4$ 上にないので、この点は検算に使えない。

正しく円上の点 $z=-3i$ ($y=-3$, $x^2+(y+1{)}^2=4$) で確かめる。$|z-3i|=|-6i|=6$、$2|z|=6$ で一致する。もう一つの点 $z=i$ ($y=1$) でも、$|i-3i|=2$、$2|i|=2$ で一致する。

この2点 $-3i$ と $i$ は円の直径の両端で、中点は $-i$ なので、中心が $-i$ であることとも合う。