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複素数平面の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C 複素数平面

複素数平面上で、等式 $∣ z - 3 i ∣ = 2∣ z ∣$ を満たす点 $z$ 全体は円をえがく。この円の中心を表す複素数を求めよ。

この問題で使うもの

複素数の等式が表す図形（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（39 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「複素数の等式が表す図形」の技能を使います。 $∣ z - α ∣ = k ∣ z - β ∣$ の形の等式は、 $z = x + y i$ とおいて $x, y$ の式に直すと図形がわかります。

ヒント 2

$z = x + y i$ とおくと $∣ z - 3 i ∣^{2} = x^{2} + (y - 3)^{2}$ 、 $∣ z ∣^{2} = x^{2} + y^{2}$ です。等式の両辺を 2 乗して $∣ z - 3 i ∣^{2} = 4∣ z ∣^{2}$ を使いましょう。

ヒント 3

$x^{2} + (y - 3)^{2} = 4 (x^{2} + y^{2})$ を整理すると $x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 = 0$ になります。これを平方完成して中心を読み取りましょう。

答えと解説

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解説を読む

$z = x + y i$ （ $x, y$ は実数）とおいて、等式を $x, y$ の式に直す。

1. 絶対値を $x, y$ で表す

$z - 3 i = x + (y - 3) i$ であるから
$∣ z - 3 i ∣^{2} = x^{2} + (y - 3)^{2}, ∣ z ∣^{2} = x^{2} + y^{2}$
となる。

2. 両辺を 2 乗する

与えられた等式の両辺はどちらも $0$ 以上なので、両辺を 2 乗した式
$∣ z - 3 i ∣^{2} = 4∣ z ∣^{2}$
ともとの等式は同値である。これを $x, y$ で書くと
$x^{2} + (y - 3)^{2} = 4 (x^{2} + y^{2})$
となる。

3. 整理して円の方程式の形にする

左辺を展開すると
$x^{2} + y^{2} - 6 y + 9 = 4 x^{2} + 4 y^{2}$
となり、移項して整理すると
$3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - 9 = 0$
となる。両辺を $3$ で割ると
$x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 = 0$
である。 $y$ について平方完成すると
$x^{2} + (y + 1)^{2} = 4$
となる。

4. 図形を読み取る

これは座標平面で中心 $(0, - 1)$ 、半径 $2$ の円である。複素数平面では、点 $(0, - 1)$ は複素数 $- i$ を表す。したがって、求める円の中心を表す複素数は $- i$ である。

確かめ

2 点 $3 i$ と $0$ を結ぶ線分を $2 : 1$ に内分する点は $i$ 、外分する点は $- 3 i$ である。
- $z = i$ のとき $∣ i - 3 i ∣ = 2$ 、 $2∣ i ∣ = 2$ となり、等式を満たす。
- $z = - 3 i$ のとき $∣ - 6 i ∣ = 6$ 、 $2∣ - 3 i ∣ = 6$ となり、等式を満たす。

この 2 点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）の中心は、2 点の中点 $\frac{i + ( - 3 i )}{2} = - i$ であり、上の結果と一致する。

別解

$z = x + y i$ （ $x, y$ は実数）とおくと、 $∣ z - 3 i ∣ = 2∣ z ∣$ の両辺は 0 以上なので、2乗しても同値である。
$∣ z - 3 i ∣^{2} = x^{2} + (y - 3)^{2}$ 、 $4∣ z ∣^{2} = 4 x^{2} + 4 y^{2}$ より
$x^{2} + y^{2} - 6 y + 9 = 4 x^{2} + 4 y^{2}$
$3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - 9 = 0$
$x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 = 0$
$x^{2} + (y + 1)^{2} = 4$
よって中心は $(0, - 1)$ 、半径は 2 である。中心を表す複素数は $- i$ 。
検算：円上の点 $z = 2 i$ を代入すると、 $∣2 i - 3 i ∣ = 1$ 、 $2∣2 i ∣ = 4$ で一致しない。 $2 i$ は円上にない（ $x^{2} + (y + 1)^{2} = 9 \neq = 4$ ）ので矛盾しない。円上の点 $z = i$ を代入すると、 $∣ i - 3 i ∣ = 2$ 、 $2∣ i ∣ = 2$ で一致する。 $x^{2} + (y + 1)^{2} = 0 + 4 = 4$ で円上にある。
アポロニウスの円としても確認できる。 $z$ から $3 i$ までの距離が $z$ から $0$ までの距離の 2 倍なので、 $0$ と $3 i$ を $1 : 2$ に内分する点 $i$ と、外分する点 $- 3 i$ が直径の両端となる。中心は $\frac{i + ( - 3 i )}{2} = - i$ で一致する。

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