複素数平面の問題

1. $f(\cos \theta )=\cos 5\theta$ であること

ド・モアブルの定理より $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^5=\cos 5\theta +i\sin 5\theta$。左辺を二項定理で展開して実部を比べ、$c=\cos \theta ,s=\sin \theta$ とおくと
$$\cos 5\theta =c^5-10c^3{s}^2+5c{s}^4$$
ここで $s^2=1-c^2$ を代入すると
$$\cos 5\theta =c^5-10c^3(1-c^2)+5c(1-c^2{)}^2=16c^5-20c^3+5c$$
よって、すべての実数 $\theta$ について $f(\cos \theta )=\cos 5\theta$ が成り立つ。

2. $|x|>1$ に解がないこと

$$f(x)-x=16x^5-20x^3+4x=4x(4x^4-5x^2+1)=4x(4x^2-1)(x^2-1)$$
$x>1$ のとき右辺は正なので $f(x)>x>1$。すると $f(x)>1$ にも同じことが使えて $f(f(x))>f(x)>x$。よって $x>1$ に解はない。$f$ は奇関数なので、$x<-1$ のときも同様に $f(f(x))<f(x)<x$ となり解はない。

3. $-1\leqq x\leqq 1$ の解

$x=\cos \theta (0\leqq \theta \leqq \pi )$ とおくと、$\theta$ と $x$ は 1 対 1 に対応する。1 より $f(x)=\cos 5\theta$、さらに $f(f(x))=f(\cos 5\theta )=\cos 25\theta$ だから、方程式は
$$\cos 25\theta =\cos \theta$$
となる。これは $25\theta =\pm \theta +2k\pi$（$k$ は整数）と同値で、
$$\theta =\frac{k\pi }{12}\text{または}\theta =\frac{k\pi }{13}$$

4. $x>\frac{1}{2}$ を満たすものを数える

2 より $x>1$ に解はないので、$\frac{1}{2}<x\leqq 1$、すなわち $0\leqq \theta <\frac{\pi }{3}$ の範囲で数えればよい。
- $\theta =\frac{k\pi }{12}$：$0\leqq \frac{k}{12}<\frac{1}{3}$ より $k=0,1,2,3$ の $4$ 個
- $\theta =\frac{k\pi }{13}$：$0\leqq \frac{k}{13}<\frac{1}{3}$ より $k=0,1,2,3,4$ の $5$ 個

両方に含まれる $\theta$ は、$\frac{k}{12}=\frac{j}{13}$ すなわち $13k=12j$ となるときで、$13$ と $12$ は互いに素なので $k$ は $12$ の倍数。この範囲では $\theta =0$ だけが重複する。

$\theta$ が異なれば $x=\cos \theta$ も異なるので、求める個数は
$$4+5-1=8$$

$T_5(\cos \theta )=\cos 5\theta$（倍角・3倍角の公式から $\cos 5\theta =16{\cos }^5\theta -20{\cos }^3\theta +5\cos \theta$）なので、$|x|\leqq 1$ で $x=\cos \theta$ とおくと $f(x)=\cos 5\theta$、$f(f(x))=\cos 25\theta$。

(i) $x>1$ のとき: $f(x)-x=x(16x^4-20x^2+4)=4x(4x^2-1)(x^2-1)>0$ なので $f(x)>x>1$。さらに $f(f(x))>f(x)>x$ となり（$f(t)>t$ が $t>1$ で成り立つ）、解はない。

(ii) $\frac{1}{2}<x\leqq 1$ のとき: $x=\cos \theta$（$0\leqq \theta <\frac{\pi }{3}$）。$\cos 25\theta =\cos \theta$ より $25\theta =\pm \theta +2\pi k$（$k$ は整数）、すなわち $\theta =\frac{\pi k}{12}$ または $\theta =\frac{\pi k}{13}$。
- $\theta =\frac{\pi k}{12}$, $0\leqq \theta <\frac{\pi }{3}$: $k=0,1,2,3$（4 個）。
- $\theta =\frac{\pi k}{13}$, $0\leqq \theta <\frac{\pi }{3}$: $0\leqq k<\frac{13}{3}$ より $k=0,1,2,3,4$（5 個）。
- 両方に含まれるのは $13k=12j$ を満たす $\theta =0$ のみ（1 個）。

よって異なる $\theta$ は $4+5-1=8$ 個。$\theta \mapsto \cos \theta$ は $[0,\frac{\pi }{3})$ で単調減少なので、$x$ も 8 個。

検算: $x=1$: $f(1)=1$、$f(f(1))=1$ で解。$x=\cos \frac{\pi }{4}$ ($\theta =\frac{\pi }{4}$): $f=\cos \frac{5\pi }{4}$、$f(f)=\cos \frac{25\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}$ で解。$x=\frac{1}{2}$ は $\theta =\frac{\pi }{3}$ で $x>\frac{1}{2}$ を満たさないので除く。