量子力学（1 次元の問題）の問題

質量 $m$ の粒子が、1 次元の階段型ポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x<0)\\ V_0& (x\geqq 0)\end{array}(V_0>0)$$
に $x<0$ の側から $x$ 軸の正の向きに入射する。粒子のエネルギーは $E=\frac{4}{3}{V}_0$ である（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。粒子は時間に依存しないシュレーディンガー方程式に従い、波動関数とその 1 階導関数は $x=0$ で連続とする。$x>0$ には右向きに進む透過波だけがあるとして、透過率 $T$（入射波の確率流密度に対する透過波の確率流密度の比）を既約分数で求めよ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)={\left(\frac{2a}{\pi }\right)}^{1/4}\exp \left[-(a-ib)x^2\right](-\infty <x<\infty )$$
ここで $a$ は正の定数、$b$ は実数の定数で、$\psi$ は規格化されている。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。必要なら、$\alpha >0$ に対して
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }},{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-\alpha x^2}dx=\frac{1}{2\alpha }\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}$$
を用いてよい。

この状態での位置の標準偏差 $\Delta x$ と運動量の標準偏差 $\Delta p$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$a,b,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子（ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$）を考える。規格化された実数のエネルギー固有関数を ${\phi }_n(x)$、対応するエネルギー固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とする（$\hslash$ は換算プランク定数）。時刻 $t=0$ において粒子の状態が
$$\psi (x,0)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\phi }_0(x)+\frac{1}{2}{\phi }_1(x)$$
であった。ただし
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_{0}x{\phi }_{0}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_{1}x{\phi }_{1}dx=0,{\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_{0}x{\phi }_{1}dx=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}$$
である。位置の期待値 $⟨x⟩(t)$ が初めて $-\frac{1}{2}⟨x⟩(0)$ に等しくなる時刻 $t>0$ を、$\omega$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元のポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}\alpha \delta (x)& (|x|<a)\\ \infty & (|x|\geqq a)\end{array}(a>0,\alpha >0)$$
の中にある。これは、無限に深い井戸の中央に反発的なデルタ関数型ポテンシャルを置いたものである。$\delta (x)$ はディラックのデルタ関数であり、$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。波動関数は $x=\pm a$ で $0$ になり、$x=0$ で連続であるとする。

この粒子の基底状態のエネルギーが
$$E=\frac{9{\pi }^2{\hslash }^2}{32m{a}^2}$$
となるような $\alpha$ を、$m,a,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、次の 1 次元の「半分の調和振動子」ポテンシャルの中を運動している。
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2& (x>0)\\ \infty & (x\leqq 0)\end{array}(\omega >0)$$
$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。時刻 $t=0$ で、粒子の波動関数は
$$\psi (x,0)=\{\begin{array}{ll}A{x}^3\exp \left(-\frac{m\omega x^2}{2\hslash }\right)& (x>0)\\ 0& (x\leqq 0)\end{array}$$
であった。ここで $A$ は規格化定数（正の実数）である。その後、粒子はこのポテンシャルのもとでシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。

位置の期待値 $⟨x⟩(t)$ の、$t\geqq 0$ における最小値を $m,\omega ,\hslash$ を用いて表せ。