微分法の問題

三角関数の導関数の公式
$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$
を使います。

手順 1：導関数を求める

微分は項ごとに行えます。定数倍はそのまま前に残ります。
$$f^{\prime }(x)=(\sin x{)}^{\prime }+2(\cos x{)}^{\prime }+(\tan x{)}^{\prime }=\cos x-2\sin x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

手順 2：$x=\frac{\pi }{4}$ を代入する

$\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。また ${\cos }^2\frac{\pi }{4}={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$ なので、$\frac{1}{{\cos }^2\frac{\pi }{4}}=2$ です。これらを代入すると
$$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+2=\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}+2=2-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

よって、答えは $2-\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f^{\prime }(x)=\cos x-2\sin x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ である。$x=\frac{\pi }{4}$ を代入すると、$\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$、${\cos }^2\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$ より、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+2=2-\frac{\sqrt{2}}{2}$。検算：$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.7071$ なので、$0.7071-1.4142+2=1.2929$、$2-0.7071=1.2929$ で一致する。