微分法の問題

三角関数の導関数の公式
$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$
を使います。

手順 1：各項を微分する

微分の線形性（定数倍・和はそのまま微分できる）により、
$$f^{\prime }(x)=3(\sin x{)}^{\prime }+2(\cos x{)}^{\prime }+(\tan x{)}^{\prime }$$
です。公式を当てはめると
$$f^{\prime }(x)=3\cos x+2\cdot (-\sin x)+\frac{1}{{\cos }^{2}x}=3\cos x-2\sin x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$
となります。$\cos x$ の微分で符号がマイナスになることに注意します。

手順 2：$x=\frac{\pi }{3}$ を代入する

$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、${\cos }^2\frac{\pi }{3}=\frac{1}{4}$ より $\frac{1}{{\cos }^2\frac{\pi }{3}}=4$ です。よって
$$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=3\cdot \frac{1}{2}-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+4=\frac{3}{2}-\sqrt{3}+4=\frac{11}{2}-\sqrt{3}$$

したがって、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{11}{2}-\sqrt{3}$ です。

$f^{\prime }(x)=3\cos x-2\sin x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ である。$x=\frac{\pi }{3}$ のとき、$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$、$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=3\cdot \frac{1}{2}-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{(1/2{)}^2}=\frac{3}{2}-\sqrt{3}+4=\frac{11}{2}-\sqrt{3}$。検算：$(\tan x{)}^{\prime }=1+{\tan }^{2}x=1+3=4$ で、$\frac{1}{{\cos }^{2}x}=4$ と一致する。