この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

微分法と積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 微分法と積分法

曲線 $y = x^{3} - 2 x^{2} + 3$ 上の点 $(2, 3)$ における接線の方程式を求めよ。答えは $y = (x の式)$ の形で表し、右辺の式を答えよ。

この問題で使うもの

多項式の微分（説明と入口の問題）
接線の方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「接線の方程式」を使います。曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(a, f (a))$ における接線は $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ で表されます。

ヒント 2

まず $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3$ を微分して $f^{'} (x)$ を求め、 $x = 2$ を代入して接線の傾きを求めましょう。

ヒント 3

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x$ より $f^{'} (2) = 4$ です。あとは $y - 3 = 4 (x - 2)$ を整理しましょう。

答えと解説

答えを見る

4 x - 5

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3$ とおきます。

手順1: 点が曲線上にあることを確かめる

$f (2) = 2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 3 = 8 - 8 + 3 = 3$ なので、点 $(2, 3)$ は曲線上にあります。

手順2: 導関数を求め、接点での傾きを求める

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x$

よって、点 $(2, 3)$ における接線の傾きは

$f^{'} (2) = 3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 = 12 - 8 = 4$

手順3: 接線の方程式の公式に代入する

曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(a, f (a))$ における接線の方程式は

$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$

です。 $a = 2$ , $f (2) = 3$ , $f^{'} (2) = 4$ を代入すると

$y - 3 = 4 (x - 2)$

$y = 4 x - 8 + 3$

$y = 4 x - 5$

したがって、求める接線の方程式は $y = 4 x - 5$ であり、答える右辺の式は $4 x - 5$ です。

別解

$y = x^{3} - 2 x^{2} + 3$ を微分すると $y^{'} = 3 x^{2} - 4 x$ 。 $x = 2$ のとき $y^{'} = 12 - 8 = 4$ 。点 $(2, 3)$ が曲線上にあることは、 $8 - 8 + 3 = 3$ より確かめられる。接線は $y - 3 = 4 (x - 2)$ なので $y = 4 x - 5$ 。検算： $x = 2$ を代入すると $y = 3$ で、点 $(2, 3)$ を通り、傾きは 4 である。

微分法と積分法の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題