微分法と積分法の問題

$f(x)=x^3-ax$ とおくと $f^{\prime }(x)=3x^2-a$ である。$\mathrm{P}$ の $x$ 座標を $s$ とする。

接線 $\ell$ の方程式
$$y=(3s^2-a)(x-s)+s^3-as=(3s^2-a)x-2s^3$$

$C$ と $\ell$ の共有点
$$f(x)-\{(3s^2-a)x-2s^3\}=x^3-3s^{2}x+2s^3=(x-s{)}^2(x+2s)$$
であるから、共有点の $x$ 座標は $x=s,-2s$ である。

$s=0$ のときは共有点が $\mathrm{P}$ だけなので、$\mathrm{Q}$ は存在しない。$s\ne 0$ のときは $-2s\ne s$ なので、$\mathrm{Q}$ の $x$ 座標は $-2s$ である。

直交条件
$\mathrm{Q}$ における接線の傾きは $f^{\prime }(-2s)=12s^2-a$ である。直交する条件は
$$(3s^2-a)(12s^2-a)=-1$$
であり、展開して整理すると
$$36s^4-15a{s}^2+a^2+1=0(1)$$
となる。

よい点の個数と $u$ の方程式
$u=s^2$ とおくと、$(1)$ は
$$36u^2-15au+a^2+1=0(2)$$
となる。$s\ne 0$ より $u>0$ である。正の解 $u$ が $1$ つあれば $s=\pm \sqrt{u}$ の $2$ 個が対応し、異なる $u$ からは異なる $s$ が得られる。$x$ 座標の異なる点は $C$ 上の異なる点なので、よい点がちょうど $4$ 個 $⟺$ $(2)$ が異なる $2$ つの正の解をもつ、である。

$(2)$ の判別式を $D$ とすると、条件は次の $3$ つである。
- $D=225a^2-144(a^2+1)=81a^2-144>0$ より $a^2>\frac{16}{9}$、すなわち $a<-\frac{4}{3}$ または $a>\frac{4}{3}$
- 解の和について $\frac{15a}{36}>0$ より $a>0$
- 解の積は $\frac{a^2+1}{36}>0$ で、これは常に成り立つ

以上より $a>\frac{4}{3}$ である。

(参考: $a=\frac{4}{3}$ のとき $(2)$ は重解 $u=\frac{5}{18}$ をもち、よい点は $2$ 個である。$a<\frac{4}{3}$ のときは、$(2)$ が実数解をもたないか、$2$ つの解がともに負になるので、よい点は存在しない。)

答え: $a>\frac{4}{3}$

$\mathrm{P}$ の $x$ 座標を $p$ とすると、$\ell$ の傾きは $3p^2-a$ である。$\ell$ と $C$ の方程式から $y$ を消すと $x^3-ax-\{(3p^2-a)(x-p)+p^3-ap\}=(x-p{)}^2(x+2p)=0$ となる。したがって $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標は $-2p$ で、$\mathrm{Q}\ne \mathrm{P}$ より $p\ne 0$ である。

$\mathrm{Q}$ での接線の傾きは $3(-2p{)}^2-a=12p^2-a$ である。直交条件は $(3p^2-a)(12p^2-a)=-1$ である。

$t=p^2>0$ とおくと $36t^2-15at+a^2+1=0$ となる。$p\ne 0$ のとき、正の $t$ 1 つにつき $p=\pm \sqrt{t}$ の 2 個のよい点が対応し、異なる $t$ からは異なる $p$ が得られる。よって、よい点がちょうど 4 個になる条件は、この 2 次方程式が異なる 2 つの正の解をもつことである。

• 判別式: $225a^2-144(a^2+1)=81a^2-144>0$ より $a^2>\frac{16}{9}$、すなわち $|a|>\frac{4}{3}$。
• 2 解の和: $\frac{15a}{36}>0$ より $a>0$。
• 2 解の積: $\frac{a^2+1}{36}>0$ で常に成り立つ。

よって $a>\frac{4}{3}$ である。

検算: $a=2$ では $36t^2-30t+5=0$ で、$t=\frac{30\pm \sqrt{900-720}}{72}=\frac{30\pm \sqrt{180}}{72}$ となり、異なる 2 つの正の解をもつ。よって 4 個で適する。