微分法と積分法の問題

$f(x)$ の増減

$f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x+1)(x-1)$ である。$f(x)$ は $x=-1,1$ で極小値 $-1$、$x=0$ で極大値 $0$ をとる。増減は次のとおりである。
- $x\le -1$ で減少
- $-1\le x\le 0$ で増加
- $0\le x\le 1$ で減少
- $x\ge 1$ で増加

また $f(-x)=f(x)$ より、$y=f(x)$ のグラフは $y$ 軸に関して対称である。

(i) $-1\le t\le 0$ のとき

区間 $[t,t+1]$ は $x=0$ を含む。よって $g(t)\ge f(0)=0$ である。

(ii) $t>0$ のとき

区間 $[t,t+1]$ の内部にある $f^{\prime }(x)=0$ の点は、あっても $x=1$（極小点）だけである。したがって最大値は端点でとられ、
$$g(t)=\max \{f(t),f(t+1)\}$$
となる。

- $t\ge 1$ のとき：区間で $f$ は増加するので $g(t)=f(t+1)\ge f(2)=8$ である。
- $0<t<1$ のとき：端点の値を比べる。$(t+1{)}^4-t^4=4t^3+6t^2+4t+1$、$(t+1{)}^2-t^2=2t+1$ より
$$f(t+1)-f(t)=4t^3+6t^2+4t+1-2(2t+1)=4t^3+6t^2-1=(2t+1)(2t^2+2t-1)$$
である。$2t+1>0$ であり、$2t^2+2t-1=0$ の正の解は $\alpha =\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ である（$0<\alpha <1$）。
- $0<t<\alpha$ では $f(t+1)<f(t)$ なので $g(t)=f(t)$ である。$0<x<1$ で $f$ は減少するから $g(t)>f(\alpha )$ となる。
- $\alpha \le t<1$ では $f(t+1)\ge f(t)$ なので $g(t)=f(t+1)$ である。$t+1\in [1+\alpha ,2)$ で $f$ は増加するから $g(t)\ge f(\alpha +1)$ となり、等号は $t=\alpha$ のとき成り立つ。

ここで値を計算する。${\alpha }^2=\frac{4-2\sqrt{3}}{4}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$、${\alpha }^4=\frac{7-4\sqrt{3}}{4}$ より
$$f(\alpha )=\frac{7-4\sqrt{3}}{4}-(2-\sqrt{3})=-\frac{1}{4}$$
である。$f(\alpha +1)=f(\alpha )$ はすでに示したとおりである。直接計算しても、$(\alpha +1{)}^2=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$、$(\alpha +1{)}^4=\frac{7+4\sqrt{3}}{4}$ より $f(\alpha +1)=\frac{7+4\sqrt{3}}{4}-(2+\sqrt{3})=-\frac{1}{4}$ となる。

よって $t>0$ における $g(t)$ の最小値は $-\frac{1}{4}$（$t=\alpha$ のとき）である。

(iii) $t<-1$ のとき

グラフの対称性により、区間 $[t,t+1]$ における $f$ の値の集合は、区間 $[-t-1,-t]$ における値の集合と一致する。よって $g(t)=g(-t-1)$ であり、$-t-1>0$ なので (ii) に帰着する。最小値は $-\frac{1}{4}$ で、$t=-\alpha -1=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$ のときにとる。

結論

(i)〜(iii) より、$g(t)$ の最小値は $-\frac{1}{4}$ である。

$f(x)=x^4-2x^2$ は偶関数で、$x=\pm 1$ で極小値 $-1$、$x=0$ で極大値 $0$ をとる。

区間 $[t,t+1]$ が $0$ を含む（$-1\le t\le 0$）とき、$g(t)\ge f(0)=0$ である。

$0$ を含まない場合を考える。対称性（$f(-x)=f(x)$）より $t>0$ で調べればよい。
$0<x<1$ で $f$ は減少、$x>1$ で増加し、区間内に極大点はないので、$g(t)=\max \{f(t),f(t+1)\}$ である。

$t>0$ で $f(t+1)$ は増加する。$0<t<1$ では $f(t)$ は減少する。したがって $g(t)$ が最小になるのは $f(t)=f(t+1)$ となるときである。

$f(t+1)-f(t)=(t+1{)}^4-t^4-2\{(t+1{)}^2-t^2\}=4t^3+6t^2+4t+1-4t-2=4t^3+6t^2-1$

これを $0$ とおくと $(2t+1)(2t^2+2t-1)=0$。$t>0$ より $t=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$（$0<t<1$ を満たす）。

このとき $t^2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$、$t^4=\frac{7-4\sqrt{3}}{4}$ より
$f(t)=\frac{7-4\sqrt{3}}{4}-(2-\sqrt{3})=-\frac{1}{4}$。

検算：$t\approx 0.366$ で $f(t)\approx 0.018-0.268=-0.25$、$f(t+1)=f(1.366)\approx 3.482-3.732=-0.25$ で一致する。

また $t\ge 1$ では $g(t)=f(t+1)\ge f(2)=8$ で大きい。$t<-1$ の場合は対称性より $t>0$ の場合と同じ値をとる。

よって最小値は $-\frac{1}{4}$。