微分法と積分法の問題

$h(x)=|x^2-3x|=|x(x-3)|$ とおきます。$h(x)$ は連続な関数で、$x\le 0$ または $x\ge 3$ のとき $h(x)=x^2-3x$、$0\le x\le 3$ のとき $h(x)=3x-x^2$ です。

対称性　$x=3-u$ と置換すると $x^2-3x=u^2-3u$ です。$x=t$ のとき $u=3-t$、$x=t+2$ のとき $u=1-t$ なので、
$$g(t)={\int }_{1-t}^{3-t}|u^2-3u|du=g(1-t)$$
となります。よって $t\le \frac{1}{2}$ の範囲だけ調べれば十分です。

導関数　定数 $c$ をとると $g(t)={\int }_c^{t+2}h(x)dx-{\int }_c^{t}h(x)dx$ なので、
$$g^{\prime }(t)=h(t+2)-h(t)$$
です。

(i) $t<-2$ のとき：$t<0$、$t+2<0$ なので
$$g^{\prime }(t)=\{(t+2{)}^2-3(t+2)\}-(t^2-3t)=(t^2+t-2)-(t^2-3t)=4t-2<0$$

(ii) $-2<t<0$ のとき：$0<t+2<2<3$ より $h(t+2)=-(t^2+t-2)$、$h(t)=t^2-3t$ です。よって
$$g^{\prime }(t)=-(t^2+t-2)-(t^2-3t)=-2t^2+2t+2=-2(t^2-t-1)$$
$t^2-t-1=0$ の解は $t=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ です。このうち $-2<t<0$ にあるのは $t_0=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ だけです。$g^{\prime }(t)$ は $-2<t<t_0$ で負、$t_0<t<0$ で正になります。

(iii) $0<t<\frac{1}{2}$ のとき：$0<t<t+2<3$ なので
$$g^{\prime }(t)=-(t^2+t-2)+(t^2-3t)=2-4t>0$$

以上より、$t\le \frac{1}{2}$ の範囲で $g(t)$ は $t\le t_0$ で減少し、$t_0\le t\le \frac{1}{2}$ で増加します。したがって最小値は $g(t_0)$ です。対称性から、$t\ge \frac{1}{2}$ でも最小値は $g(1-t_0)=g(t_0)$ です。

$g(t_0)$ の計算　$F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2$ とおくと、$F(0)=0$ です。$t_0<0<t_0+2<3$ なので
$$g(t_0)={\int }_{t_0}^0(x^2-3x)dx+{\int }_0^{t_0+2}(3x-x^2)dx=-F(t_0)-F(t_0+2)$$
となります。

$t=t_0$ は $t^2=t+1$ を満たします。これを使って次数を下げます。

- $t^3=t\cdot t^2=t^2+t=2t+1$ なので
$$F(t)=\frac{2t+1}{3}-\frac{3(t+1)}{2}=\frac{-5t-7}{6}$$
- $s=t+2$ とおくと $s^2=t^2+4t+4=5t+5$、$s^3=(t+2)(5t+5)=5t^2+15t+10=20t+15$ なので
$$F(s)=\frac{20t+15}{3}-\frac{3(5t+5)}{2}=\frac{-5t-15}{6}$$

よって
$$g(t_0)=\frac{5t_0+7}{6}+\frac{5t_0+15}{6}=\frac{10t_0+22}{6}=\frac{5t_0+11}{3}$$
$t_0=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ を代入すると
$$g(t_0)=\frac{1}{3}\left(\frac{5-5\sqrt{5}}{2}+11\right)=\frac{27-5\sqrt{5}}{6}$$

(確認：$g(0)={\int }_0^2(3x-x^2)dx=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\approx 3.33$ に対し、$\frac{27-5\sqrt{5}}{6}\approx 2.64$ で、確かに小さくなっています。)

答え：$\frac{27-5\sqrt{5}}{6}$

$f(x)=|x^2-3x|$ とおくと、$g^{\prime }(t)=f(t+2)-f(t)$ である。

$g^{\prime }(t)=0$ すなわち $|h(t+2)|=|h(t)|$（$h(x)=x^2-3x$）を解く。
- $h(t+2)=h(t)$ のとき $4t-2=0$ より $t=\frac{1}{2}$。
- $h(t+2)=-h(t)$ のとき $2t^2-2t-2=0$、すなわち $t^2-t-1=0$ より $t=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。

符号を調べると、$g^{\prime }$ は $t\to -\infty$ で負、$t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ で負から正、$t=\frac{1}{2}$ で正から負、$t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ で負から正、$t\to \infty$ で正になる。よって $t=\frac{1}{2}$ は極大で、$t=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ が極小である。

$P(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}$ とおくと $P(3)=-\frac{9}{2}$、$P(0)=0$。また $t^2=t+1$ より $t^3=2t+1$ が成り立つ。

$P(t)=\frac{-5t-7}{6}$。$(t+2{)}^2=5t+5$、$(t+2{)}^3=20t+15$ より $P(t+2)=\frac{-5t-15}{6}$。

$t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ のとき、区間 $[t,t+2]$ に $x=3$ が含まれる。
$g=-(P(3)-P(t))+P(t+2)-P(3)=P(t)+P(t+2)+9=\frac{16-5t}{3}=\frac{27-5\sqrt{5}}{6}$。

$t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき、区間に $x=0$ が含まれる。
$g=-P(t)-P(t+2)=\frac{5t+11}{3}=\frac{27-5\sqrt{5}}{6}$。

2つの極小値は等しい。数値でも約 $2.637$ で一致する。$t=0$ では $g={\int }_0^2(3x-x^2)dx=\frac{10}{3}\approx 3.33$ で、これより小さい。

したがって最小値は $\frac{27-5\sqrt{5}}{6}$。