微分法と積分法の問題

増減の確認

$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$ である。よって $f(x)$ は $x\le -1$ で増加し、$-1\le x\le 1$ で減少し、$x\ge 1$ で増加する。極大値は $f(-1)=2$、極小値は $f(1)=-2$ である。

また、のちに使うため次の差を計算しておく。
$$f(t+1)-f(t)=(t^3+3t^2+3t+1-3t-3)-(t^3-3t)=3t^2+3t-2$$

対称性

$f(-x)=-f(x)$ であるから、区間 $[t,t+1]$ を原点に関して対称に移すと区間 $[-t-1,-t]$ になり、$f$ の値の集合は符号が反転するだけである。符号が反転しても最大値と最小値の差は変わらないので $g(-t-1)=g(t)$ が成り立つ。よって $g(t)$ のグラフは直線 $t=-\frac{1}{2}$ に関して対称であり、$t\ge -\frac{1}{2}$ の範囲だけを調べればよい。

(i) $-\frac{1}{2}\le t\le 0$ のとき

区間 $[t,t+1]$ は $[-1,1]$ に含まれ、そこで $f$ は減少する。よって
$$g(t)=f(t)-f(t+1)=-3t^2-3t+2=-3{\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}$$
これは $-\frac{1}{2}\le t\le 0$ で減少し、最小となる $t=0$ でも $g(0)=2$ である。よってこの範囲では $g(t)\ge 2$ である。

(ii) $0<t<1$ のとき

$t<1<t+1$ なので、区間は極小点 $x=1$ を内部に含む。$f$ は $[t,1]$ で減少し、$[1,t+1]$ で増加するから、最小値は $f(1)=-2$、最大値は $f(t)$ と $f(t+1)$ の大きい方である。したがって
$$g(t)=\max \{f(t),f(t+1)\}+2$$

ここで $t$ が増えると、$f(t)$ は減少し（$t\in (0,1)$ のため）、$f(t+1)$ は増加する（$t+1\in (1,2)$ のため）。

$f(t+1)-f(t)=3t^2+3t-2=0$ の解のうち $0<t<1$ にあるものは
$$t_0=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$$
である。$5<\sqrt{33}<6$ より $0<t_0<1$ を満たす。

• $0<t\le t_0$ では $f(t)\ge f(t+1)$ なので $g(t)=f(t)+2$ となり、これは減少する。
• $t_0\le t<1$ では $f(t+1)\ge f(t)$ なので $g(t)=f(t+1)+2$ となり、これは増加する。

よってこの範囲での $g(t)$ の最小値は $g(t_0)=f(t_0)+2$ である。

$f(t_0)$ を計算する。$3t_0^2+3t_0-2=0$ より $t_0^2=\frac{2-3t_0}{3}$ である。これを使うと
$$t_0^3=t_0\cdot t_0^2=\frac{2t_0-3t_0^2}{3}=\frac{2t_0-(2-3t_0)}{3}=\frac{5t_0-2}{3}$$
したがって
$$f(t_0)=\frac{5t_0-2}{3}-3t_0=\frac{-4t_0-2}{3}$$
ここに $t_0=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ を代入すると、$-4t_0=\frac{6-2\sqrt{33}}{3}$ より
$$-4t_0-2=-\frac{2\sqrt{33}}{3}$$
となる。よって
$$f(t_0)=-\frac{2\sqrt{33}}{9},g(t_0)=2-\frac{2\sqrt{33}}{9}$$
である（$\approx 0.72$）。

(iii) $t\ge 1$ のとき

区間 $[t,t+1]$ は $[1,\infty )$ に含まれ、そこで $f$ は増加する。よって
$$g(t)=f(t+1)-f(t)=3t^2+3t-2\ge 3+3-2=4$$
である。

まとめ

$t\ge -\frac{1}{2}$ における $g(t)$ の最小値を比べる。$\frac{2\sqrt{33}}{9}>0$ より $2-\frac{2\sqrt{33}}{9}<2<4$ なので、最小値は (ii) で得た値である。対称性から $t<-\frac{1}{2}$ でもこれより小さい値はとらない。

したがって、$g(t)$ の最小値は
$$2-\frac{2\sqrt{33}}{9}$$
である（$t=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ と、対称な $t=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$ のとき）。

$f^{\prime }(x)=3x^2-3$ より、$f$ は $x=-1$ で極大値 $2$、$x=1$ で極小値 $-2$ をとる。また $f(x)$ は奇関数なので、区間 $[t,t+1]$ を原点対称に移すと $g(t)=g(-t-1)$ が成り立つ。したがって $t\ge -\frac{1}{2}$ の範囲だけ調べればよい。

(i) $-\frac{1}{2}\le t\le 0$ のとき、区間 $[t,t+1]$ は $[-1,1]$ に含まれ、$f$ は単調減少。$g(t)=f(t)-f(t+1)=-3t^2-3t+2$。これは上に凸なので、最小値は端点での値 $g(0)=2$。

(ii) $0\le t\le 1$ のとき、区間は $x=1$ を含むので最小値は $f(1)=-2$。最大値は $\max \{f(t),f(t+1)\}$。$f(t+1)-f(t)=3t^2+3t-2=0$ を解くと $t_0=\frac{\sqrt{33}-3}{6}$（$0<t_0<1$）。
- $0\le t\le t_0$ では最大値は $f(t)$ で、$g(t)=t^3-3t+2$。これは $[0,1]$ で減少するので、この範囲の最小値は $g(t_0)$。
- $t_0\le t\le 1$ では最大値は $f(t+1)$ で、$g(t)=f(t+1)+2$。$t+1\ge 1$ で $f$ は増加するので、この範囲の最小値は $g(t_0)$。

よって (ii) の最小値は $g(t_0)$。$t_0$ は $3t^2+3t-2=0$ を満たすので $t_0^2=\frac{2}{3}-t_0$。これより $t_0^3=\frac{5}{3}{t}_0-\frac{2}{3}$。
$g(t_0)=t_0^3-3t_0+2=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}{t}_0=\frac{4}{3}(1-t_0)=\frac{4}{3}\cdot \frac{9-\sqrt{33}}{6}=\frac{18-2\sqrt{33}}{9}\approx 0.7235$。

(iii) $t\ge 1$ のとき $f$ は増加し、$g(t)=3t^2+3t-2\ge 4$。

以上より最小値は $\frac{18-2\sqrt{33}}{9}$。

検算：$t_0\approx 0.4574$ で $f(t_0)\approx -1.2757$。$f(t_0+1)=f(1.4574)\approx 3.0956-4.3722=-1.2766$ でほぼ等しい（丸め誤差の範囲）。$g=-1.2757+2\approx 0.724$ で一致する。