微分法と積分法の問題

共有点を求める。

$-1\le x\le 1$ では $C$ は $y=1-x^2$ である。
$$1-x^2-m(x+1)=(x+1)(1-m-x)$$
なので、共有点の $x$ 座標は $x=-1,1-m$ である。$0<m<2$ より $-1<1-m<1$ となる。

$x\ge 1$ では $C$ は $y=x^2-1$ である。
$$x^2-1-m(x+1)=(x+1)(x-1-m)$$
なので、共有点の $x$ 座標は $x=1+m(>1)$ である。

$x<-1$ では $|x^2-1|>0>m(x+1)$ なので共有点はない。

上下関係を調べる。

• $-1<x<1-m$ のとき、$(x+1)(1-m-x)>0$ なので $C$ が上にある。
• $1-m<x<1$ のとき、直線と曲線の差は $m(x+1)-(1-x^2)=(x+1)(x-1+m)>0$ なので $\ell$ が上にある。
• $1<x<1+m$ のとき、差は $m(x+1)-(x^2-1)=(x+1)(1+m-x)>0$ なので $\ell$ が上にある。
• $x>1+m$ では $C$ が上にあり、両者は離れていく。

したがって、囲まれた $2$ つの部分は次の通りである。
- 区間 $-1\le x\le 1-m$ の部分（面積 $A$）
- 区間 $1-m\le x\le 1+m$ の部分（面積 $B$）

面積 $A$ を求める。

公式 ${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$ を使う。
$$A={\int }_{-1}^{1-m}(x+1)(1-m-x)dx=\frac{(2-m{)}^3}{6}$$

面積 $B$ を求める。

$B=B_1+B_2$ とし、それぞれ置き換えて計算する。

$B_1={\int }_{1-m}^1(x+1)(x-1+m)dx$ で、$s=x-(1-m)$ とおく。$x+1=s+2-m$、$s$ は $0$ から $m$ まで動くので
$$B_1={\int }_0^m(s+2-m)sds=\frac{m^3}{3}+\frac{(2-m)m^2}{2}=m^2-\frac{m^3}{6}$$

$B_2={\int }_1^{1+m}(x+1)(1+m-x)dx$ で、$s=1+m-x$ とおく。$x+1=2+m-s$、$s$ は $m$ から $0$ まで動くので
$$B_2={\int }_0^m(2+m-s)sds=\frac{(2+m)m^2}{2}-\frac{m^3}{3}=m^2+\frac{m^3}{6}$$

よって $B=2m^2$ である。

$S(m)$ を最小にする。
$$S(m)=\frac{(2-m{)}^3}{6}+2m^2(0<m<2)$$
$$S^{\prime }(m)=-\frac{(2-m{)}^2}{2}+4m$$
$S^{\prime }(m)=0$ とすると $(2-m{)}^2=8m$、すなわち $m^2-12m+4=0$ となり、$m=6\pm 4\sqrt{2}$ である。

$0<m<2$ を満たすのは $m=6-4\sqrt{2}$ のみである。

$S^{\prime }(m)=\frac{-(m^2-12m+4)}{2}$ なので、$0<m<6-4\sqrt{2}$ で $S^{\prime }(m)<0$、$6-4\sqrt{2}<m<2$ で $S^{\prime }(m)>0$ となる。よって $m=6-4\sqrt{2}$ のとき $S(m)$ は最小になる。

最小値を計算する。

$2-m=4\sqrt{2}-4=4(\sqrt{2}-1)$ であり、
$$(\sqrt{2}-1{)}^3=(3-2\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=5\sqrt{2}-7$$
だから
$$\frac{(2-m{)}^3}{6}=\frac{64(5\sqrt{2}-7)}{6}=\frac{160\sqrt{2}-224}{3}$$
また $m^2=(6-4\sqrt{2}{)}^2=68-48\sqrt{2}$ より
$$2m^2=136-96\sqrt{2}=\frac{408-288\sqrt{2}}{3}$$
したがって
$$S(m)=\frac{160\sqrt{2}-224+408-288\sqrt{2}}{3}=\frac{184-128\sqrt{2}}{3}$$

答え： 最小値は $\frac{184-128\sqrt{2}}{3}$（$m=6-4\sqrt{2}$ のとき）

直線 $\ell$ は点 $(-1,0)$ を通る。交点を求める。

$-1<x<1$ のとき $1-x^2=m(x+1)$ より $x=1-m$。
$|x|\ge 1$ のとき $x^2-1=m(x+1)$ より $x=-1,1+m$。

$a=2-m,b=2+m$ とおき、$t=x+1$ と置換して面積を求める。

(1) 区間 $[-1,1-m]$ では曲線が直線の上にある。
$A={\int }_0^{a}t(a-t)dt=\frac{a^3}{6}$

(2) 区間 $[1-m,1]$ では直線が曲線 $y=1-x^2$ の上にある。
${\int }_a^{2}t(t-a)dt=\frac{8}{3}-2a+\frac{a^3}{6}$

(3) 区間 $[1,1+m]$ では直線が曲線 $y=x^2-1$ の上にある。
${\int }_2^{b}t(b-t)dt=\frac{b^3}{6}-2b+\frac{8}{3}$

(2) と (3) の和が、もう一方の領域の面積 $B$ である。

$A$ と $B$ を足し、$a+b=4$ を使うと
$S(m)=\frac{a^3}{6}+\frac{a^3}{6}+\frac{b^3}{6}+\frac{16}{3}-8=\frac{(2-m{)}^3}{3}+\frac{(2+m{)}^3}{6}-\frac{8}{3}$

微分する。
$S^{\prime }(m)=-(2-m{)}^2+\frac{(2+m{)}^2}{2}$

$S^{\prime }(m)=0$ とおくと $(2+m{)}^2=2(2-m{)}^2$、すなわち $2+m=\sqrt{2}(2-m)$ となる。
これより $m=6-4\sqrt{2}\approx 0.343$。これは $0<m<2$ を満たす。

$S^{\prime }(m)$ は $m$ の増加につれて負から正に変わる。実際、$S^{\prime \prime }=2(2-m)+(2+m)>0$ なので $S$ は下に凸であり、この点で最小となる。

このとき $a=4(\sqrt{2}-1)$、$b=\sqrt{2}a$ である。
$S=\frac{a^3}{3}+\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{6}-\frac{8}{3}=\frac{(1+\sqrt{2})a^3}{3}-\frac{8}{3}$

$(1+\sqrt{2})a^3=64(\sqrt{2}-1{)}^2=64(3-2\sqrt{2})$ より
$S=\frac{64(3-2\sqrt{2})-8}{3}=\frac{184-128\sqrt{2}}{3}\approx 0.994$

検算として $m=0.343$ を直接代入すると約 $0.994$ となり一致する。$m=0$ では $S=4/3\approx 1.33$ で、これより小さい。