微分法と積分法の問題

方針：$4$ つの点での値で $f(x)$ を表す

条件 $|f(x)|\le 1$ は無数の $x$ についての条件で扱いにくい。そこで、うまく選んだ $4$ つの点 $x=0,\frac{1}{4},\frac{3}{4},1$ での値
$$p=f(0),q=f\left(\frac{1}{4}\right),r=f\left(\frac{3}{4}\right),s=f(1)$$
だけを使って $f^{\prime }(1)$ を表す。条件から $|p|,|q|,|r|,|s|\le 1$ である。

$f(x)$ を $p,q,r,s$ で表す

次の $3$ 次式を考える。
$$L_0(x)=\frac{\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)(x-1)}{\left(0-\frac{1}{4}\right)\left(0-\frac{3}{4}\right)(0-1)}=-\frac{16}{3}\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)(x-1)$$
$$L_1(x)=\frac{x\left(x-\frac{3}{4}\right)(x-1)}{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{4}-1\right)}=\frac{32}{3}x\left(x-\frac{3}{4}\right)(x-1)$$
$$L_2(x)=\frac{x\left(x-\frac{1}{4}\right)(x-1)}{\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}-1\right)}=-\frac{32}{3}x\left(x-\frac{1}{4}\right)(x-1)$$
$$L_3(x)=\frac{x\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)}{1\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}}=\frac{16}{3}x\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)$$
$L_0$ は $x=0$ で $1$、$x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},1$ で $0$ となる。$L_1,L_2,L_3$ も同様に、それぞれ $x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},1$ で $1$、ほかの $3$ 点で $0$ となる。

そこで $g(x)=f(x)-\{p{L}_0(x)+q{L}_1(x)+r{L}_2(x)+s{L}_3(x)\}$ とおくと、$g(x)$ は $3$ 次以下の整式で、$x=0,\frac{1}{4},\frac{3}{4},1$ の $4$ つの点で $0$ になる。$3$ 次以下の整式が $4$ つの異なる値で $0$ になるのは $g(x)=0$（恒等的に $0$）のときだけなので
$$f(x)=p{L}_0(x)+q{L}_1(x)+r{L}_2(x)+s{L}_3(x)$$
が成り立つ。

$x=1$ での微分係数を計算する

$(x-1)$ を因数にもつ $L_0,L_1,L_2$ は、$h(x)=(x-1)k(x)$ の形なので $h^{\prime }(x)=k(x)+(x-1)k^{\prime }(x)$ より $h^{\prime }(1)=k(1)$ となる。よって
$$L_0^{\prime }(1)=-\frac{16}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=-1,L_1^{\prime }(1)=\frac{32}{3}\cdot 1\cdot \frac{1}{4}=\frac{8}{3},L_2^{\prime }(1)=-\frac{32}{3}\cdot 1\cdot \frac{3}{4}=-8$$
また $x\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)=x^3-x^2+\frac{3}{16}x$ の導関数は $3x^2-2x+\frac{3}{16}$ で、$x=1$ のとき $\frac{19}{16}$ なので
$$L_3^{\prime }(1)=\frac{16}{3}\cdot \frac{19}{16}=\frac{19}{3}$$
したがって
$$f^{\prime }(1)=-p+\frac{8}{3}q-8r+\frac{19}{3}s$$

上からの評価

$|p|,|q|,|r|,|s|\le 1$ より $-p\le 1$, $q\le 1$, $-r\le 1$, $s\le 1$ なので
$$f^{\prime }(1)\le 1+\frac{8}{3}+8+\frac{19}{3}=18$$
等号は $p=-1,q=1,r=-1,s=1$ のときに限る。

等号が成り立つ $f(x)$ が条件を満たすこと

$p=-1,q=1,r=-1,s=1$ となる $3$ 次以下の整式は上の式でただ $1$ つに決まり、計算すると
$$f(x)=32x^3-48x^2+18x-1$$
である（実際、$f(0)=-1$, $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}-3+\frac{9}{2}-1=1$, $f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{27}{2}-27+\frac{27}{2}-1=-1$, $f(1)=32-48+18-1=1$）。

この $f(x)$ が $0\le x\le 1$ で $|f(x)|\le 1$ を満たすことを確かめる。
$$f^{\prime }(x)=96x^2-96x+18=6(16x^2-16x+3)=6(4x-1)(4x-3)$$
よって増減表は次のようになる。

$0\le x\le 1$ における最大値は $1$、最小値は $-1$ なので、$|f(x)|\le 1$ が成り立つ。このとき $f^{\prime }(1)=96-96+18=18$ である。

以上より、$f^{\prime }(1)$ の最大値は
$$18$$

$t=2x-1$ とおき、$g(t)=f\left(\frac{t+1}{2}\right)$ とする。$g$ は 3 次以下の整式で、$-1\leqq t\leqq 1$ で $|g(t)|\leqq 1$。また $f^{\prime }(x)=2g^{\prime }(t)$ なので $f^{\prime }(1)=2g^{\prime }(1)$。

[上からの評価] 3 次以下の整式は 4 点 $t=1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1$ での値で決まり、ラグランジュ補間より $g(t)=g(1)l_0(t)+g\left(\frac{1}{2}\right)l_1(t)+g\left(-\frac{1}{2}\right)l_2(t)+g(-1)l_3(t)$。各 $l_i$ は
- $l_0(t)=\frac{(t^2-\frac{1}{4})(t+1)}{\frac{3}{2}}$
- $l_1(t)=\frac{(t^2-1)(t+\frac{1}{2})}{-\frac{3}{4}}$
- $l_2(t)=\frac{(t^2-1)(t-\frac{1}{2})}{\frac{3}{4}}$
- $l_3(t)=\frac{(t-1)(t^2-\frac{1}{4})}{-\frac{3}{2}}$

$t=1$ での微分係数は
- $l_0^{\prime }(1)=\frac{2\cdot 2+\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}}=\frac{19}{6}$
- $l_1^{\prime }(1)=\frac{2\cdot \frac{3}{2}}{-\frac{3}{4}}=-4$
- $l_2^{\prime }(1)=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$
- $l_3^{\prime }(1)=\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}$

よって $|g^{\prime }(1)|\leqq \left|l_0^{\prime }(1)\right|+\left|l_1^{\prime }(1)\right|+\left|l_2^{\prime }(1)\right|+\left|l_3^{\prime }(1)\right|=\frac{19}{6}+4+\frac{4}{3}+\frac{1}{2}=9$。したがって $f^{\prime }(1)=2g^{\prime }(1)\leqq 18$。

[等号の成立] $g(1)=1,g(\frac{1}{2})=-1,g(-\frac{1}{2})=1,g(-1)=-1$ となる 3 次式は $g(t)=4t^3-3t$（$g(1)=1,g(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1,g(-\frac{1}{2})=1,g(-1)=-1$）。$t=\cos \theta$ とすると $g=\cos 3\theta$ なので $|g|\leqq 1$。このとき $f(x)=4(2x-1{)}^3-3(2x-1)=32x^3-48x^2+18x-1$ で、$0\leqq x\leqq 1$ で $|f(x)|\leqq 1$。$f^{\prime }(x)=96x^2-96x+18$、$f^{\prime }(1)=18$。

よって最大値は 18。