微分法と積分法の問題

$p=xyz$ とおく。

1. $x^4+y^4+z^4$ を $p$ で表す

$$x^2+y^2+z^2=(x+y+z{)}^2-2(xy+yz+zx)=9+18=27$$
$$x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2=(xy+yz+zx{)}^2-2xyz(x+y+z)=81-6p$$
よって
$$x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2{)}^2-2(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)=729-2(81-6p)=567+12p$$

2. $p$ のとりうる値の範囲を求める

解と係数の関係より、$x,y,z$ は $t$ の $3$ 次方程式
$$t^3-3t^2-9t-p=0\text{すなわち}{t}^3-3t^2-9t=p$$
の $3$ つの解（重解も含む）である。逆に、この方程式が重解も含めて $3$ つの実数解をもてば、それらを $x,y,z$ とすることで条件を満たす実数が得られる。

したがって、$p$ のとりうる値の範囲は、曲線 $y=g(t)=t^3-3t^2-9t$ と直線 $y=p$ が、重解も含めて $3$ つの実数解を与える（共有点が $3$ 個、または接点を含めて $2$ 個）ような $p$ の範囲である。

$$g^{\prime }(t)=3t^2-6t-9=3(t+1)(t-3)$$
より、$g(t)$ は $t=-1$ で極大値 $g(-1)=-1-3+9=5$、$t=3$ で極小値 $g(3)=27-27-27=-27$ をとる。

よって、方程式が重解を含めて $3$ つの実数解をもつ条件は $-27\le p\le 5$ である（$p=5,-27$ のときは重解をもつ）。

3. 最大値・最小値

$x^4+y^4+z^4=567+12p$ は $p$ について増加するので
- 最大値は $p=5$ のとき $567+60=627$。このとき $t^3-3t^2-9t-5=(t+1{)}^2(t-5)=0$ より、$(x,y,z)$ は $-1,-1,5$ を並べたもの。
- 最小値は $p=-27$ のとき $567-324=243$。このとき $t^3-3t^2-9t+27=(t-3{)}^2(t+3)=0$ より、$(x,y,z)$ は $3,3,-3$ を並べたもの。

（確認）$1+1+625=627$、$81+81+81=243$。

よって、最大値 $627$、最小値 $243$。

$p=x+y+z=3,q=xy+yz+zx=-9,r=xyz$ とおく。

$x^2+y^2+z^2=p^2-2q=9+18=27$。
$x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2=q^2-2pr=81-6r$。
よって
$$x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2{)}^2-2(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)=729-2(81-6r)=567+12r.$$

$x,y,z$ は $t^3-3t^2-9t-r=0$ の 3 解である。これがすべて実数解(重解を含む)をもつ条件を調べる。$g(t)=t^3-3t^2-9t$ とおくと $g^{\prime }(t)=3(t-3)(t+1)$。$t=-1$ で極大値 $g(-1)=5$、$t=3$ で極小値 $g(3)=-27$。$y=g(t)$ と $y=r$ が 3 つの実数解(重解含む)をもつ条件は $-27\le r\le 5$。

したがって $x^4+y^4+z^4=567+12r$ は
- $r=5$ のとき最大: $567+60=627$
- $r=-27$ のとき最小: $567-324=243$

検算: $r=5$ では $t^3-3t^2-9t-5=(t+1{)}^2(t-5)$ より $(x,y,z)=(-1,-1,5)$。和 $3$、$xy+yz+zx=1-5-5=-9$、$x^4+y^4+z^4=1+1+625=627$。$r=-27$ では $t^3-3t^2-9t+27=(t-3{)}^2(t+3)$ より $(3,3,-3)$。和 $3$、$xy+yz+zx=9-9-9=-9$、$81\cdot 3=243$。