グラフを使った実数解の個数

方程式を「曲線と直線の共有点」に言い換えて、実数解の個数を調べられる

前提

増減表と極値（数学II 微分法と積分法）

この技能までの道筋（25 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）

説明

方程式 $f (x) = k$ の異なる実数解の個数は、曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = k$ の共有点の個数に等しくなります。この技能を使うと、方程式を直接解かなくても、グラフを見るだけで実数解の個数がわかります。特に「定数 $k$ の値によって解の個数がどう変わるか」や「異なる 3 つの実数解をもつ $k$ の範囲」を求める問題で役に立ちます。

なぜそうしてよいのか

$x = p$ が方程式 $f (x) = k$ の解であることは、 $f (p) = k$ が成り立つことです。これは、点 $(p, k)$ が曲線 $y = f (x)$ の上にも直線 $y = k$ の上にもあること、つまり $(p, k)$ が 2 つのグラフの共有点であることと同じです。したがって、異なる実数解が 1 つあるごとに共有点が 1 つあり、解の個数と共有点の個数は一致します。

そこで、方程式から定数 $k$ だけを右辺に移して $f (x) = k$ の形にします（定数の分離）。こうすると左辺の曲線 $y = f (x)$ は $k$ に関係なく 1 つに決まり、 $k$ が変わっても直線 $y = k$ が上下に平行移動するだけになります。曲線の形は増減表で調べられるので、x 軸に平行な直線を上下に動かしながら共有点を数えれば、 $k$ ごとの解の個数が読み取れます。

このとき大事なのは、極大値・極小値の「高さ」（ $y$ 座標）です。直線 $y = k$ の高さが極値と同じになるところで曲線に接し、共有点の個数が変わります。なお、 $x^{3}$ の係数が正の 3 次関数では、 $x$ を十分大きくすると $f (x)$ はいくらでも大きく、 $x$ を十分小さく（負の方向に大きく）するといくらでも小さくなります。そのため、グラフは左下から右上へ途切れずにつながっています。

手順

定数 $k$ を右辺に分離して、方程式を $f (x) = k$ の形に変形する
$f^{'} (x)$ を求めて増減表を作り、極大値・極小値を計算して $y = f (x)$ のグラフの概形をかく
直線 $y = k$ （x 軸に平行な直線）を上下に動かし、曲線との共有点の個数が変わる境目を調べる。境目は極大値・極小値の高さである
共有点の個数を異なる実数解の個数として読み取り、問われている $k$ の条件を答える。直線が極値の高さで接する場合も忘れずに確認する

例題

$x$ の方程式 $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - k = 0$ が異なる 3 つの実数解をもつような、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $k$ を右辺に移すと $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x = k$ となる。 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ とおくと、異なる実数解の個数は、曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = k$ の共有点の個数に等しい。

【手順2】 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x + 1) (x - 3)$ より、 $f^{'} (x) = 0$ となるのは $x = - 1, 3$ である。増減表は次のようになる。 $x < - 1$ で $f^{'} (x) > 0$ （増加）、 $x = - 1$ で極大、 $- 1 < x < 3$ で $f^{'} (x) < 0$ （減少）、 $x = 3$ で極小、 $x > 3$ で $f^{'} (x) > 0$ （増加）。
極大値は $f (- 1) = - 1 - 3 + 9 = 5$ 、極小値は $f (3) = 27 - 27 - 27 = - 27$ である。

【手順3】直線 $y = k$ を上下に動かして共有点を数える。
・ $k > 5$ または $k < - 27$ のとき、共有点は 1 個
・ $k = 5$ または $k = - 27$ のとき、極大点または極小点で接するので、共有点は 2 個
・ $- 27 < k < 5$ のとき、共有点は 3 個

【手順4】異なる 3 つの実数解をもつのは共有点が 3 個のときなので、求める範囲は $- 27 < k < 5$ である。

答え: $- 27 < k < 5$

よくある誤り

$k = 5$ や $k = - 27$ のときも 3 つの解をもつとして、 $- 27 \leq k \leq 5$ としてしまう誤り。正しくは、 $k = 5$ のとき $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5 = (x + 1)^{2} (x - 5)$ となり、異なる実数解は $x = - 1, 5$ の 2 個だけである。接するときは共有点が 1 つ減るので、範囲の端は含まない。
移項で符号を間違え、 $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - k = 0$ を $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x = - k$ としてしまう誤り。正しくは $- k$ を右辺に移すと符号が変わるので $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x = k$ である。
極値をとる $x$ の値で範囲を答え、 $- 1 < k < 3$ としてしまう誤り。直線 $y = k$ と比べるのは高さ（ $y$ 座標）なので、正しくは極値 $f (- 1) = 5$ 、 $f (3) = - 27$ を使って $- 27 < k < 5$ とする。
$k$ を左辺に残したまま $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - k$ のグラフを考え、 $k$ が変わるたびに曲線そのものを調べ直してしまう誤り。 $f (x) = k$ と定数を分離すれば、曲線は 1 つに固定され、直線 $y = k$ を上下に動かすだけで済む。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

グラフを使った実数解の個数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題