微分法と積分法の問題

方針：定数 $k$ を分離して、曲線と直線の共有点の個数に言い換える。

方程式を $$x^3-3x^2-9x=k$$ と変形する。この方程式の実数解は、曲線 $y=x^3-3x^2-9x$ と直線 $y=k$ の共有点の $x$ 座標である。したがって、異なる実数解の個数は、この曲線と直線 $y=k$ の共有点の個数に等しい。

曲線 $y=f(x)$ のグラフをかく。 $f(x)=x^3-3x^2-9x$ とおくと
$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3)$$
$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=-1,3$ のときである。

$f(-1)=-1-3+9=5$, $f(3)=27-27-27=-27$ である。

$f(x)$ の増減表は次のようになる。
$$\begin{array}{cccccc}x& \cdots & -1& \cdots & 3& \cdots \\ f^{\prime }(x)& +& 0& -& 0& +\\ f(x)& \nearrow & 5& \searrow & -27& \nearrow \end{array}$$
よって、$f(x)$ は $x=-1$ で極大値 $5$、$x=3$ で極小値 $-27$ をとる。

直線 $y=k$ を上下に動かして共有点の個数を数える。 $x$ 軸に平行な直線 $y=k$ が曲線 $y=f(x)$ と異なる $3$ 点で交わるのは、直線が極小値と極大値の間を通るとき、すなわち
$$-27<k<5$$
のときである。なお、$k=5$ または $k=-27$ のときは直線が極大点・極小点で曲線に接するので共有点は $2$ 個、$k>5$ または $k<-27$ のときは共有点は $1$ 個である。

よって、求める $k$ の値の範囲は $-27<k<5$ である。

方程式を $x^3-3x^2-9x=k$ と変形し、$f(x)=x^3-3x^2-9x$ のグラフと直線 $y=k$ の共有点の個数を調べる。

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$ より、$x=-1$ で極大、$x=3$ で極小となる。

極大値は $f(-1)=-1-3+9=5$。
極小値は $f(3)=27-27-27=-27$。

$f(x)$ は $x\to -\infty$ で $-\infty$、$x\to \infty$ で $\infty$ となる。$y=k$ との共有点がちょうど 3 個になるのは、極小値 $<k<$ 極大値 のときである。

よって $-27<k<5$。

検算: $k=0$ のとき $x(x^2-3x-9)=0$ で、判別式 $9+36>0$ かつ $x=0$ は $x^2-3x-9=0$ の解ではないので異なる 3 実数解をもつ。$k=5$ では $x=-1$ が重解、$k=-27$ では $x=3$ が重解となり不適。