微分法と積分法の問題

方針：方程式を「曲線と直線の共有点」に言い換える

方程式を、$k$ だけを右辺に移して
$$2x^3+3x^2-12x=k$$
と変形する。この方程式の実数解は、曲線 $y=2x^3+3x^2-12x$ と直線 $y=k$ の共有点の $x$ 座標である。したがって、異なる実数解の個数は、この曲線と直線の共有点の個数に等しい。

曲線の増減を調べる

$f(x)=2x^3+3x^2-12x$ とおくと
$$f^{\prime }(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1)$$
よって $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=-2,1$ である。

$$f(-2)=2\cdot (-8)+3\cdot 4-12\cdot (-2)=-16+12+24=20$$
$$f(1)=2+3-12=-7$$

増減表は次のようになる。

したがって、$y=f(x)$ は $x=-2$ で極大値 $20$、$x=1$ で極小値 $-7$ をとる。また、$x$ を限りなく小さくすると $f(x)$ は限りなく小さくなり、$x$ を限りなく大きくすると $f(x)$ は限りなく大きくなる。

直線 $y=k$ を上下に動かして共有点の個数を読む

水平な直線 $y=k$ を上下に動かすと、共有点の個数は次のようになる。
- $k>20$ または $k<-7$ のとき：$1$ 個
- $k=20$ または $k=-7$ のとき：$2$ 個（極大点または極小点で接する）
- $-7<k<20$ のとき：$3$ 個

よって、異なる $3$ つの実数解をもつのは、直線 $y=k$ が極小値と極大値の間にあるときで
$$-7<k<20$$

$f(x)=2x^3+3x^2-12x$ とおくと、方程式は $f(x)=k$ となる。つまり、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=k$ の共有点の個数を調べればよい。

$f^{\prime }(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)$ より、$x=-2,1$ で極値をとる。

$f(-2)=2(-8)+3\cdot 4+24=-16+12+24=20$（極大値）

$f(1)=2+3-12=-7$（極小値）

$f(x)$ は $x<-2$ で増加、$-2<x<1$ で減少、$x>1$ で増加する。三次関数で $x\to \pm \infty$ のとき $f(x)\to \pm \infty$ である。

異なる3つの実数解をもつのは、直線 $y=k$ が極小値と極大値の間にあるとき、すなわち $-7<k<20$ のときである。

検算: $k=0$ のとき、$x(2x^2+3x-12)=0$ で、$2x^2+3x-12=0$ の判別式は $9+96=105>0$、解は $0$ ではないので、異なる3実数解をもつ。これは $-7<0<20$ と合う。$k=20$ のとき $f(x)-20=2(x+2{)}^2(x-5/2)$ で重解をもち、異なる解は2つ。$k=-7$ のときも重解 $x=1$ をもつので不適。