微分法と積分法の問題

方針：方程式 $x^3-3x^2=k$ の実数解は、曲線 $y=x^3-3x^2$ と直線 $y=k$ の共有点の $x$ 座標です。したがって、異なる実数解の個数は共有点の個数に等しくなります。そこで、曲線のグラフをかいて、直線 $y=k$ と $3$ 点で交わる $k$ の範囲を調べます。

手順1：増減を調べる
$f(x)=x^3-3x^2$ とおくと
$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$$
です。$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=0,2$ です。

$f(0)=0$、$f(2)=8-12=-4$ です。

増減表は次のようになります。
- $x<0$ のとき $f^{\prime }(x)>0$ なので増加する
- $x=0$ で極大値 $0$ をとる
- $0<x<2$ のとき $f^{\prime }(x)<0$ なので減少する
- $x=2$ で極小値 $-4$ をとる
- $x>2$ のとき $f^{\prime }(x)>0$ なので増加する

手順2：グラフと直線 $y=k$ の共有点を数える
曲線 $y=f(x)$ は、左下から上がって点 $(0,0)$ で極大になり、点 $(2,-4)$ まで下がって極小になり、そのあと右上へ上がっていきます。

$x$ 軸に平行な直線 $y=k$ を上下に動かして共有点の個数を数えると、次のようになります。
- $k>0$ または $k<-4$ のとき：$1$ 個
- $k=0$ または $k=-4$ のとき：$2$ 個（極値の点で接する）
- $-4<k<0$ のとき：$3$ 個

手順3：答え
異なる $3$ つの実数解をもつのは、共有点が $3$ 個のときです。よって、求める範囲は
$$-4<k<0$$
です。

$f(x)=x^3-3x^2$ とおくと $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。増減は $x=0$ で極大、$x=2$ で極小。極大値 $f(0)=0$、極小値 $f(2)=8-12=-4$。$y=f(x)$ のグラフと直線 $y=k$ が異なる3点で交わる条件は、極小値 $<k<$ 極大値、すなわち $-4<k<0$。確認：$k=-2$ のとき $x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)=0$ で $x=1,1\pm \sqrt{3}$ の異なる3実数解。$k=0$ では $x=0$（重解）,3 の2つ、$k=-4$ では $x=2$（重解）,$-1$ の2つで不適。よって $-4<k<0$。