微分法と積分法の問題

$g(x)=x^3-3a^{2}x$ とおきます。方程式 $g(x)=b$ の実数解は、曲線 $y=g(x)$ と直線 $y=b$ の共有点の $x$ 座標です。

増減の確認

$g^{\prime }(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a)$ です。$a>0$ なので、$g(x)$ は $x=-a$ で極大値 $g(-a)=2a^3$、$x=a$ で極小値 $g(a)=-2a^3$ をとります。

$a\ge 1$ のとき

$-1<x<1$ では $|x|<a$ なので $g^{\prime }(x)<0$ です。よって $g(x)$ はこの範囲で単調に減少し、解は高々 $1$ 個です。条件を満たしません。

$0<a<1$ のとき

区間 $-1<x<1$ は次の $3$ つの部分に分かれます。
- $-1<x<-a$：$g$ は増加し、値域は $g(-1)<y<2a^3$
- $-a<x<a$：$g$ は減少し、値域は $-2a^3<y<2a^3$
- $a<x<1$：$g$ は増加し、値域は $-2a^3<y<g(1)$

$x=\pm a$ が解になるのは $b=\pm 2a^3$ のときで、そのときは重解になるため、異なる $3$ つの解はもちません。$3$ 次方程式の解は高々 $3$ 個なので、求める条件は「$3$ つの部分のそれぞれに $1$ つずつ解をもつこと」です。すなわち
$$\max \{g(-1),-2a^3\}<b<\min \{2a^3,g(1)\}.$$
ここで $g(1)=1-3a^2$、$g(-1)=3a^2-1=-g(1)$ です。

$g(1)$ と $2a^3$ の大小を調べます。
$$2a^3-(1-3a^2)=2a^3+3a^2-1=(a+1{)}^2(2a-1)$$
なので、次のようになります。
- $0<a\le \frac{1}{2}$ のとき：$2a^3\le 1-3a^2$ です。したがって $-2a^3\ge 3a^2-1$ でもあり、条件は $-2a^3<b<2a^3$ です。
- $\frac{1}{2}<a<1$ のとき：$1-3a^2<2a^3$ なので、条件は $-(1-3a^2)<b<1-3a^2$ です。これを満たす $b$ が存在するのは $1-3a^2>0$、すなわち $a<\frac{1}{\sqrt{3}}$ のときに限ります。

なお $\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}}<1$ です。

面積の計算

$D$ は $b$ について対称な範囲で、境界上の点は面積に影響しません。よって
$$S={\int }_0^{\frac{1}{2}}4a^{3}da+{\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}2(1-3a^2)da$$
です。

第 $1$ 項は
$$[a^4{]}_0^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}.$$

第 $2$ 項は
$$[2a-2a^3{]}_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{2}{3\sqrt{3}}\right)-\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{4}{3\sqrt{3}}-\frac{3}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{9}-\frac{3}{4}.$$

したがって
$$S=\frac{1}{16}+\frac{4\sqrt{3}}{9}-\frac{3}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{9}-\frac{11}{16}.$$

$f(x)=x^3-3a^{2}x$ とおく。$f^{\prime }(x)=3(x^2-a^2)$ なので、$x=\pm a$ で極値をとる。極大値は $f(-a)=2a^3$、極小値は $f(a)=-2a^3$ である。

$a\ge 1$ のとき、$-1<x<1$ で $f$ は単調減少なので、解は高々 1 個になる。よって $0<a<1$ が必要である。

$0<a<1$ のとき、3 つの解は次の区間に 1 つずつ入る必要がある。
- 最小の解は $(-\infty ,-a)$ にあり、$-1$ より大きいための条件は $f(-1)<b$ である。
- 最大の解は $(a,\infty )$ にあり、$1$ より小さいための条件は $b<f(1)$ である。
- 中央の解は $(-a,a)\subset (-1,1)$ に入る。

ここで $f(-1)=3a^2-1$、$f(1)=1-3a^2$ である。したがって条件は
$$\max (-2a^3,3a^2-1)<b<\min (2a^3,1-3a^2)$$
となる。

$2a^3-(1-3a^2)=(a+1{)}^2(2a-1)$ より、次のように場合分けできる。
- $a<1/2$ のとき、最小値は $2a^3$ である。
- $a>1/2$ のとき、最小値は $1-3a^2$ である。

下限は上限の符号を反転したものなので、$b$ の範囲の幅は $2\min (2a^3,1-3a^2)$ である。これが正になるのは $a<1/\sqrt{3}$ のときに限る。

面積は
$$S={\int }_0^{1/2}4a^{3}da+{\int }_{1/2}^{1/\sqrt{3}}2(1-3a^2)da$$
で求められる。

第1項は ${\left[a^4\right]}_0^{1/2}=\frac{1}{16}$ である。

第2項は $2{\left[a-a^3\right]}_{1/2}^{1/\sqrt{3}}$ である。$a=1/\sqrt{3}$ のとき $a-a^3=\frac{2\sqrt{3}}{9}$、$a=1/2$ のとき $a-a^3=\frac{3}{8}$ なので、
$$2\left(\frac{2\sqrt{3}}{9}-\frac{3}{8}\right)=\frac{4\sqrt{3}}{9}-\frac{3}{4}$$
となる。

よって
$$S=\frac{1}{16}+\frac{4\sqrt{3}}{9}-\frac{3}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{9}-\frac{11}{16}\approx 0.082$$
である。正の値になっており、妥当である。