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微分法と積分法の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 微分法と積分法

$k$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$(x^{3} - 3 x^{2})^{3} - 3 (x^{3} - 3 x^{2})^{2} = k$
の異なる実数解の個数が $3$ 個以上となるような $k$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

多項式の微分（説明と入口の問題）
増減表と極値（説明と入口の問題）
グラフを使った実数解の個数（説明と入口の問題）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（26 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$t = x^{3} - 3 x^{2}$ とおくと、方程式は $t^{3} - 3 t^{2} = k$ となります。「 $t$ の値が 1 つ決まるごとに、それを与える $x$ がいくつあるか」を考えましょう。

ヒント 2

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ のグラフをかくと、 $f (x) = t$ の実数解は $- 4 < t < 0$ で $3$ 個、 $t = 0, - 4$ で $2$ 個、それ以外で $1$ 個です。 $f (t) = k$ の解 $t$ がどの範囲にあるかを $k$ で場合分けして調べます。

ヒント 3

$- 4 < k < 0$ のとき $t$ は $(- 1, 0)$ , $(0, 2)$ , $(2, 3)$ に 1 つずつあります。 $k < - 4$ のときは $t < - 1$ の解が 1 つだけで、その $t$ が $- 4$ より大きいかどうかが分かれ目です。 $f (- 4)$ の値を計算しましょう。

答えと解説

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- 112 < k \leq 0

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解説を読む

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ とおく。方程式は $t = f (x)$ とおくと、 $f (t) = k$ と表せる。

1. $f$ のグラフ

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ より、 $f (x)$ は $x \leq 0$ で増加、 $0 \leq x \leq 2$ で減少、 $x \geq 2$ で増加し、極大値 $f (0) = 0$ 、極小値 $f (2) = - 4$ をとる。また $f (- 1) = - 4$ , $f (3) = 0$ , $f (- 4) = - 64 - 48 = - 112$ である。

グラフより、実数 $t$ に対して $x$ の方程式 $f (x) = t$ の異なる実数解の個数は
- $- 4 < t < 0$ のとき $3$ 個
- $t = 0$ または $t = - 4$ のとき $2$ 個
- $t < - 4$ または $t > 0$ のとき $1$ 個

異なる $t$ に対する $f (x) = t$ の解どうしは一致しないので、もとの方程式の解の個数は、 $f (t) = k$ を満たす各 $t$ についての $f (x) = t$ の解の個数の和である。

2. $k$ で場合分けする

$k > 0$ のとき： $f (t) = k$ の解は $t > 3$ の $1$ つだけ。 $t > 0$ なので解は $1$ 個。
$k = 0$ のとき： $t^{2} (t - 3) = 0$ より $t = 0, 3$ 。 $f (x) = 0$ は $x = 0, 3$ の $2$ 個、 $f (x) = 3$ は $1$ 個で、合計 $3$ 個。
$- 4 < k < 0$ のとき： $f (t) = k$ の解は $- 1 < t_{1} < 0 < t_{2} < 2 < t_{3} < 3$ の $3$ つ。 $t_{1}$ は $- 4 < t_{1} < 0$ を満たすので $3$ 個、 $t_{2}, t_{3}$ は正なので $1$ 個ずつで、合計 $5$ 個。
$k = - 4$ のとき： $t^{3} - 3 t^{2} + 4 = (t + 1) (t - 2)^{2} = 0$ より $t = - 1, 2$ 。 $f (x) = - 1$ は $3$ 個、 $f (x) = 2$ は $1$ 個で、合計 $4$ 個。
$k < - 4$ のとき： $f (t) = k$ の解は $t < - 1$ の $1$ つだけ。 $t < - 1$ の範囲で $f (t)$ は増加するので
$- 4 < t < - 1$ 、すなわち $f (- 4) < k < f (- 1)$ 、つまり $- 112 < k < - 4$ のとき $3$ 個
$t = - 4$ 、すなわち $k = - 112$ のとき $2$ 個
$t < - 4$ 、すなわち $k < - 112$ のとき $1$ 個

3. まとめ

異なる実数解が $3$ 個以上となるのは $- 112 < k < - 4$ （ $3$ 個）、 $k = - 4$ （ $4$ 個）、 $- 4 < k < 0$ （ $5$ 個）、 $k = 0$ （ $3$ 個）のときである。よって
$- 112 < k \leq 0$

別解

$t = x^{3} - 3 x^{2}$ とおくと、方程式は $f (t) = t^{3} - 3 t^{2} = k$ となる。

(1) $t = g (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ について $g^{'} (x) = 3 x (x - 2)$ 。 $x = 0$ で極大値 $0$ 、 $x = 2$ で極小値 $- 4$ 。よって、 $t$ の値ごとの実数 $x$ の個数 $N (t)$ は
- $t < - 4$ : 1 個
- $t = - 4$ : 2 個( $x = 2, - 1$ )
- $- 4 < t < 0$ : 3 個
- $t = 0$ : 2 個( $x = 0, 3$ )
- $t > 0$ : 1 個

(2) $f^{'} (t) = 3 t (t - 2)$ 。 $t = 0$ で極大値 $0$ 、 $t = 2$ で極小値 $- 4$ 。 $f (t) = t^{2} (t - 3)$ 。また $f (- 4) = - 64 - 48 = - 112$ 。 $t < 0$ では $f$ は単調増加で $- \infty$ から $0$ まで動く。

(3) $k$ で場合分けして、異なる実数解 $x$ の個数を数える。
- $k > 0$ : $t < 3$ では $f (t) \leq 0$ なので、解は $t > 3$ の 1 つだけ。 $x$ は 1 個。
- $k = 0$ : $t = 0, 3$ 。 $N (0) + N (3) = 2 + 1 = 3$ 個。
- $- 4 < k < 0$ : $t_{1} \in (- 4, 0)$ 、 $t_{2} \in (0, 2)$ 、 $t_{3} \in (2, 3)$ 。 $3 + 1 + 1 = 5$ 個。
- $k = - 4$ : $f (t) + 4 = (t - 2)^{2} (t + 1)$ より $t = 2, - 1$ 。 $N (2) + N (- 1) = 1 + 3 = 4$ 個。
- $- 112 < k < - 4$ : $t > 0$ では $f \geq - 4 > k$ なので解なし。 $t < 0$ の解はただ 1 つで $t \in (- 4, - 1)$ なので $N = 3$ 。3 個。
- $k = - 112$ : $t = - 4$ のみ(他に $t$ の解はない)。 $N (- 4) = 2$ 個。
- $k < - 112$ : $t < - 4$ の解 1 つのみ。1 個。

(4) 以上より、異なる実数解が 3 個以上となるのは $- 112 < k \leq 0$ 。

検算: $k = - 112$ のとき $t = - 4$ が実際に $f (- 4) = - 112$ を満たし、 $g (x) = - 4$ は $x = 2, - 1$ の 2 つなので 2 個で不適。 $k = - 100$ のとき $t \approx - 3.9$ 付近の解 1 つが $(- 4, 0)$ に入り 3 個、となって整合する。

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