微分法と積分法の問題

手順 1：導関数を求めて、$f^{\prime }(x)=0$ となる $x$ を調べる。

$$f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x+1)(x-2)$$

よって、$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=-1,2$ です。どちらも区間 $-2\le x\le 3$ に含まれます。

手順 2：区間内で増減表を作る。

$f^{\prime }(x)=6(x+1)(x-2)$ の符号は次のようになります。
- $-2<x<-1$ のとき $f^{\prime }(x)>0$ なので、$f(x)$ は増加する。
- $-1<x<2$ のとき $f^{\prime }(x)<0$ なので、$f(x)$ は減少する。
- $2<x<3$ のとき $f^{\prime }(x)>0$ なので、$f(x)$ は増加する。

したがって、$x=-1$ で極大、$x=2$ で極小となります。

手順 3：区間の両端と極値での値を計算する。

$$f(-2)=2\cdot (-8)-3\cdot 4-12\cdot (-2)=-16-12+24=-4$$
$$f(-1)=2\cdot (-1)-3\cdot 1-12\cdot (-1)=-2-3+12=7(\text{極大値})$$
$$f(2)=2\cdot 8-3\cdot 4-12\cdot 2=16-12-24=-20(\text{極小値})$$
$$f(3)=2\cdot 27-3\cdot 9-12\cdot 3=54-27-36=-9$$

手順 4：4 つの値を比べる。

$f(-2)=-4,f(-1)=7,f(2)=-20,f(3)=-9$ を比べます。

• 最も大きいのは $f(-1)=7$
• 最も小さいのは $f(2)=-20$

よって、最大値は $7$（$x=-1$ のとき）、最小値は $-20$（$x=2$ のとき）です。

答え：最大値 $7$、最小値 $-20$

$f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x-2)(x+1)$ より、極値をとる候補は $x=-1,2$。
$f(-2)=2(-8)-3(4)-12(-2)=-16-12+24=-4$
$f(-1)=-2-3+12=7$
$f(2)=16-12-24=-20$
$f(3)=54-27-36=-9$
増減は、$-2\le x<-1$ で増加、$-1<x<2$ で減少、$2<x\le 3$ で増加。よって最大値は $x=-1$ のとき $7$、最小値は $x=2$ のとき $-20$。
検算：$f(-1)=2(-1)-3(1)-12(-1)=-2-3+12=7$、$f(2)=2\cdot 8-3\cdot 4-24=-20$。端点の値 $-4,-9$ は範囲内に収まる。