微分法と積分法の問題

区間での最大・最小は、区間の端での値と、区間内の極値を比べて求めます。

手順1：導関数を求めて、$f^{\prime }(x)=0$ となる $x$ を求める。
$$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+9=-3(x^2-2x-3)=-3(x+1)(x-3)$$
よって $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=-1,3$ です。どちらも区間 $-2\le x\le 4$ に含まれます。

手順2：増減表を作る。
$-3<0$ に注意すると、$f^{\prime }(x)$ の符号は $x<-1$ で負、$-1<x<3$ で正、$x>3$ で負です。区間の端 $x=-2,4$ も表に入れます。

• $x=-2$ のとき $f(-2)=-(-8)+3\cdot 4+9\cdot (-2)-2=8+12-18-2=0$
• $x=-1$ のとき $f(-1)=-(-1)+3\cdot 1+9\cdot (-1)-2=1+3-9-2=-7$（極小値）
• $x=3$ のとき $f(3)=-27+27+27-2=25$（極大値）
• $x=4$ のとき $f(4)=-64+48+36-2=18$

増減表：
$$\begin{array}{cccccccc}x& -2& \cdots & -1& \cdots & 3& \cdots & 4\\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& 0& -& \\ f(x)& 0& \searrow & -7& \nearrow & 25& \searrow & 18\end{array}$$

手順3：端の値と極値を比べる。
候補は $0,-7,25,18$ です。
- いちばん大きいのは $25$（$x=3$ のとき）
- いちばん小さいのは $-7$（$x=-1$ のとき）

したがって、最大値は $25$（$x=3$）、最小値は $-7$（$x=-1$）です。

答え：$(25,-7)$

$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+9=-3(x^2-2x-3)=-3(x-3)(x+1)$ より、$x=-1,3$ で極値をとる。
増減：$-2<x<-1$ で $f^{\prime }<0$（減少）、$-1<x<3$ で $f^{\prime }>0$（増加）、$3<x<4$ で $f^{\prime }<0$（減少）。
各値を計算する。
$f(-2)=8+12-18-2=0$
$f(-1)=1+3-9-2=-7$
$f(3)=-27+27+27-2=25$
$f(4)=-64+48+36-2=18$
よって最大値は $f(3)=25$、最小値は $f(-1)=-7$。
検算：$f(-1)=-(-1{)}^3+3\cdot 1+9(-1)-2=1+3-9-2=-7$、$f(3)=-27+27+27-2=25$。端点 $0,18$ は両者の間にあり、矛盾しない。