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複素数と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 複素数と方程式

3 次方程式 $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ の解をすべて求めよ。

この問題で使うもの

剰余の定理・因数定理と高次方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

因数定理を使います。 $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ とおき、 $P (a) = 0$ となる $a$ を見つければ、 $P (x)$ は $x - a$ を因数にもちます。

ヒント 2

$a$ の候補は定数項 $6$ の約数 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ です。まず $P (1)$ を計算してみましょう。

ヒント 3

$P (1) = 0$ なので $P (x)$ は $x - 1$ で割り切れ、 $P (x) = (x - 1) (x^{2} - x - 6)$ と表せます。残りの 2 次式を因数分解しましょう。

答えと解説

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{- 2, 1, 3}

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解説を読む

$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ とおきます。

手順 1： $P (a) = 0$ となる $a$ を探す

定数項が $6$ なので、 $P (a) = 0$ となる整数 $a$ の候補は $6$ の約数 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ です。まず $x = 1$ を代入すると
$P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$
となります。

手順 2：因数定理を使う

$P (1) = 0$ なので、因数定理より $P (x)$ は $x - 1$ を因数にもちます。

手順 3：割り算をしてもう一方の因数を求める

$P (x)$ を $x - 1$ で割ると、商は $x^{2} - x - 6$ 、余りは $0$ です。実際、
$(x - 1) (x^{2} - x - 6) = x^{3} - x^{2} - 6 x - x^{2} + x + 6 = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$
となり、もとの式に一致します。よって
$P (x) = (x - 1) (x^{2} - x - 6)$

手順 4：2 次式を因数分解する

$x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ なので
$P (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 2)$

手順 5：方程式を解く

$(x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ より
$x = 1, 3, - 2$

したがって、解は $x = - 2, 1, 3$ です。

別解

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ とおく。 $f (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ なので $x - 1$ で割り切れる。組立除法により $f (x) = (x - 1) (x^{2} - x - 6) = (x - 1) (x - 3) (x + 2)$ 。よって解は $x = 1, 3, - 2$ 。検算： $f (3) = 27 - 18 - 15 + 6 = 0$ 、 $f (- 2) = - 8 - 8 + 10 + 6 = 0$ 。また解の和は $1 + 3 - 2 = 2$ で、解と係数の関係（和 $= 2$ ）と一致する。

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