複素数と方程式の問題

係数が $2,-11,19,-11,2$ と左右対称になっているので、相反方程式として解く。

手順 1：$x^2$ で割る。
$x=0$ を代入すると左辺は $2\ne 0$ なので、$x=0$ は解ではない。よって両辺を $x^2$ で割ってよい。
$$2x^2-11x+19-\frac{11}{x}+\frac{2}{x^2}=0$$
対称な項どうしをまとめると
$$2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-11\left(x+\frac{1}{x}\right)+19=0(1)$$

手順 2：$t=x+\frac{1}{x}$ と置く。
$$x^2+\frac{1}{x^2}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2=t^2-2$$
であるから、$(1)$ は
$$2(t^2-2)-11t+19=0$$
$$2t^2-11t+15=0$$
$$(2t-5)(t-3)=0$$
よって $t=\frac{5}{2},3$。

手順 3：$x$ に戻す。
(i) $x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$ のとき、両辺に $2x$ を掛けて
$$2x^2-5x+2=0⟹(2x-1)(x-2)=0$$
より $x=2,\frac{1}{2}$。

(ii) $x+\frac{1}{x}=3$ のとき、両辺に $x$ を掛けて
$$x^2-3x+1=0⟹x=\frac{3\pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$

以上より、求める解は
$$x=2,\frac{1}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

（確認：$x=2$ のとき $32-88+76-22+2=0$ となり、確かに解である。）

$x=0$ は解でないので、両辺を $x^2$ で割ると $2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-11\left(x+\frac{1}{x}\right)+19=0$。$t=x+\frac{1}{x}$ とおくと $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ なので、$2(t^2-2)-11t+19=0$、すなわち $2t^2-11t+15=0$。これは $(2t-5)(t-3)=0$ と因数分解できるので、$t=\frac{5}{2},3$。

(i) $t=\frac{5}{2}$ のとき、$x^2-\frac{5}{2}x+1=0$ より $2x^2-5x+2=0$。$(2x-1)(x-2)=0$ から $x=2,\frac{1}{2}$。

(ii) $t=3$ のとき、$x^2-3x+1=0$ より $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$。

検算：$x=2$ を代入すると $32-88+76-22+2=0$ となり成り立つ。また、4 つの解の積は $1\cdot 1=1$ で、定数項÷最高次の係数 $2/2=1$ と一致する。和は $2+\frac{1}{2}+3=\frac{11}{2}$ で、$\frac{11}{2}$ と一致する。

よって解は $x=2,\frac{1}{2},\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$。