複素数と方程式の問題

$P(x)=x^3-3x^2+4x-2$ とおきます。

手順 1：$P(a)=0$ となる $a$ を探す

定数項 $-2$ の約数 $\pm 1,\pm 2$ を順に代入してみます。
$$P(1)=1^3-3\cdot 1^2+4\cdot 1-2=1-3+4-2=0$$
よって、因数定理により $P(x)$ は $x-1$ を因数にもちます。

手順 2：$P(x)$ を $x-1$ で割る

$x^3-3x^2+4x-2$ を $x-1$ で割ると、
- $x^3÷x=x^2$。$x^2(x-1)=x^3-x^2$ を引くと $-2x^2+4x-2$
- $-2x^2÷x=-2x$。$-2x(x-1)=-2x^2+2x$ を引くと $2x-2$
- $2x÷x=2$。$2(x-1)=2x-2$ を引くと $0$

したがって商は $x^2-2x+2$、余りは $0$ で、
$$P(x)=(x-1)(x^2-2x+2)$$
（確かめ：$(x-1)(x^2-2x+2)=x^3-2x^2+2x-x^2+2x-2=x^3-3x^2+4x-2$）

手順 3：方程式を解く

$(x-1)(x^2-2x+2)=0$ より
$$x-1=0\text{または}{x}^2-2x+2=0$$
$x-1=0$ から $x=1$。
$x^2-2x+2=0$ は解の公式より
$$x=\frac{2\pm \sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm 2i}{2}=1\pm i$$

よって、求める解は $x=1,1+i,1-i$ です。

$x=1$ を代入すると $1-3+4-2=0$ となるので、$x-1$ を因数にもつ。組立除法（または割り算）により $x^3-3x^2+4x-2=(x-1)(x^2-2x+2)$ と因数分解できる。$x^2-2x+2=0$ を解くと $x=1\pm i$。検算として、$x=1+i$ のとき $x^2=2i$、$x^3=2i(1+i)=-2+2i$ なので $x^3-3x^2+4x-2=(-2+2i)-6i+(4+4i)-2=0$ となり成り立つ。$1-i$ は共役なので同様に成り立つ。したがって解は $x=1,1+i,1-i$。