複素数と方程式の問題

係数を並べると $1,-7,14,-7,1$ となり、左右対称です。このような方程式は相反方程式と呼ばれ、$x^2$ で割って $t=x+\frac{1}{x}$ と置き換えると解けます。

手順 1：$x=0$ は解でないことを確かめる。
$x=0$ を代入すると左辺は $1$ なので、$x=0$ は解ではありません。よって $x\ne 0$ として、両辺を $x^2$ で割ることができます。

手順 2：両辺を $x^2$ で割る。
$$x^2-7x+14-\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$
対称な位置にある項どうしをまとめると
$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+14=0(1)$$

手順 3：$t=x+\frac{1}{x}$ とおく。
対称式の考え方から
$$x^2+\frac{1}{x^2}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2\cdot x\cdot \frac{1}{x}=t^2-2$$
これを $(1)$ に代入すると
$$t^2-2-7t+14=0$$
$$t^2-7t+12=0$$
$$(t-3)(t-4)=0$$
よって $t=3,4$ です。

手順 4：$x$ に戻す。
$x+\frac{1}{x}=t$ の両辺に $x$ を掛けると $x^2-tx+1=0$ になります。

・$t=3$ のとき：$x^2-3x+1=0$ より
$$x=\frac{3\pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$

・$t=4$ のとき：$x^2-4x+1=0$ より
$$x=\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{2}=2\pm \sqrt{3}$$

(確認) $(x^2-3x+1)(x^2-4x+1)=x^4-7x^3+14x^2-7x+1$ となり、もとの式と一致します。

したがって、解は
$$x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2},2\pm \sqrt{3}$$

$x=0$ は解でないので、両辺を $x^2$ で割ると
$$x^2+\frac{1}{x^2}-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+14=0$$
$t=x+\frac{1}{x}$ とおくと $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ なので
$$t^2-2-7t+14=0⟺t^2-7t+12=0⟺(t-3)(t-4)=0$$
よって $t=3,4$。

(i) $t=3$：$x+\frac{1}{x}=3$ より $x^2-3x+1=0$ なので $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$。

(ii) $t=4$：$x+\frac{1}{x}=4$ より $x^2-4x+1=0$ なので $x=2\pm \sqrt{3}$。

検算：$x=2+\sqrt{3}$ のとき $x^2=7+4\sqrt{3}$、$x^3=26+15\sqrt{3}$、$x^4=97+56\sqrt{3}$。
$97+56\sqrt{3}-7(26+15\sqrt{3})+14(7+4\sqrt{3})-7(2+\sqrt{3})+1$
$=(97-182+98-14+1)+(56-105+56-7)\sqrt{3}=0+0=0$ となり成り立つ。

したがって解は $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2},2\pm \sqrt{3}$（4個）。